Moto browniano

Non sentite anche voi l'impellenza di un po' di conti, dopo qualche giorno di criptiche riflessioni o di caricamento di video?
Non vi biasimo se non vi è capitato, ma al qui presente è necessario un bel post pieno di equazioni. E, visto che ieri a Fisica Matematica ci è stata proposta la dimostrazione del moto browniano di Einstein (uno dei tre articoli del suo annus mirabilis 1905), e che tale dimostrazione non è complicatissima ma ha un aspetto suggestivo, qui la ripropongo.

Il moto browniano è il moto erratico e casuale di particelle (nella descrizione originale di Brown, particelle di polline) in sospensione, in particolare nell'acqua. Iniziamo a dire che la descrizione qui proposta è semifenomenologica, cioè si fonda su ipotesi non necessariamente giustificate teoricamente, ma assume comunque che il moto sia determinato da urti casuali. Mettiamoci nell'ipotesi, restrittiva ma utile per comprendere il funzionamento della dimostrazione, che ci sia una sola macromolecola (detta anche particella browniana) in un mare di micromolecole di solvente, ed adottiamo un formalismo probabilstico. Per semplicità, mettiamoci nel caso in cui il moto è solo unidimensionale (come se solvente e particella fossero in un tubicino estremamente sottile).

Definiamo $\Phi^\tau(y)$ la densità di probabilità che la particella browniana compia, nel tempo $\tau$, uno spostamento y. Introduciamo l'ipotesi che tale densità non dipenda da x, dove x è la coordinata nel tubicino.
Data questa definizione, una minima infarinatura di probabilità ci porta a dire che $\Phi^\tau(y)dy$ è la probabilità che una particella, che si trovava in x (qualsiasi) al tempo t, si trovi nell'intervallo $[x+y,x+y+dy]$ al tempo $t+\tau$.
Una seconda ipotesi che introduciamo è che il processo di "sballottolamento" della particella sia isotropo, e che, dunque, $\Phi(y)=\Phi(-y)$.
Dalla parità della $\Phi$ discende che
$bar y^\tau=\int_{RR}y\Phi^\tau(y)dy=0
cioè che lo spostamento medio $bar y$ sia nullo. Non nulla è la varianza, ovvero il momento di ordine due, definita come
$\sigma^{(\tau)2}=\int_{RR}\Phi^\tau(y)y^2dy$

Introduciamo la grandezza $\rho(x,t)$, densità di probabilità della particella nel soluto. Ne segue che $\rho(x,t)dx$ è la probabilità di trovare la particella in $[x,x+dx]$ al tempo t.
A questo punto facciamo il passo probabilmente più importante (nonostante sia del tutto naturale) del ragionamento, e cioè di calcolare $\rho(x,t+\tau)$. Dopo che è trascorso il tempo $\tau$, la densità di probabilità di trovare la particella in x è quella delle particelle che si trovavano altrove e, in questo intervallo di tempo, hanno compiuto il tragitto necessario per raggiungere x, che può essere scritto come
$\rho(x,t+\tau)=\int_{RR}\rho(x-y,t)\Phi^{\tau}(y)dy$
dove l'integrale è fatto per tenere conto di tutti i possibili percorsi (ovviamente, ci si aspetta che la probabilità sia maggiore per y minori, ma questo non è influente ai fini della dimostrazione). Sviluppiamo in serie di Taylor la densità di probabilità della particella. Abbiamo
$\rho(x,t+\tau)=\rho(x,t)+\tau\frac{del \rho(x,t)}{del t}+cc o(\tau)$
mentre a secondo membro, applicando la formula di Taylor rispetto alla variabile spaziale, abbiamo che
$\int_{RR}\rho(x-y,t)\Phi^\tau(y)dy = \int_{RR}\rho(x,t)\Phi^\tau(y)dy+$
$-\int_{RR}\frac{del \rho(x,t)}{del x}y\Phi^\tau(y)dy+\int_{RR}\frac{del^2\rho(x,t)}{del x^2}\frac{y^2}{2}\Phi^\tau(y)dy+...$
Possiamo sempre portare $\rho$ e le sue derivate fuori dai segni di integrale, perché non dipendono da y, ed osserviamo che il primo integrale, per la proprietà di normalizzazione della probabilità, deve valere uno, il secondo abbiamo già mostrato che vale 0 ed il terzo è la metà della definizione di varianza che abbiamo dato poco sopra. Possiamo, dunque, riscrivere
$\int_{RR}\rho(x-y,t)\Phi^\tau(y)dy=\rho(x,t)+\frac{\sigma^{(\tau)2}}{2}\frac{del^2\rho}{del x^2}+cc o(\tau)$
Trascurando i termini di ordine superiore in $\tau$ ed eguagliano primo e secondo membro otteniamo
$\frac{del \rho}{del t}=\frac{\sigma^{(\tau)2}}{2\tau}\frac{del^2\rho}{del x^2}$
Richiedendo che $\frac{\sigma^2}{2\tau}$ sia costante, ricavo l'equazione della diffusione (uguale a quella del calore) che dice
$\frac{del \rho}{del t}=D\frac{del^2\rho}{del x^2}$
Tale richiesta, che a prima vista appare decisamente forte, è confermata sperimentalmente, mentre il valore di $D$, che si ottiene anche per via indipendente tramite grandezze misurabili, permette di ottenere informazioni sul carattere microscopico di soluto e soluzione. Storicamente, questa derivazione della legge della diffusione ha definitivamente, una volta noti i risultati sperimentali di Perrin, prodotti un paio d'anni dopo la pubblicazione dell'articolo, confermato la natura particellare della materia.