Applicazioni Fisiche della Teoria dei Gruppi

Con ieri ho portato a casa un'altra casella del libretto, sulla strada ancora tutta in salita per diventare Dottore Magistrale (ma in latino suona meglio, sarò "Maestro").
Si tratta dell'esame di Applicazioni Fisiche della Teoria dei Gruppi, che al di là dello spreco di maiuscole significa algebre di Lie, con particolare riferimento all'algebra del gruppo di Poincaré e ad SU(3) dell'interazione forte; esame che avevo messo in conto di fare per la prima-seconda settimana di novembre ma che è lentamente scivolato fino a ieri, complice anche la continua procrastinazione (dieci giorni, di giorno in giorno) del docente, preso dal dover far "supplenza" ad un collega assente.

Esame oggettivamente non difficile, che in sede di prova scritta (come al solito, è tipico degli esami con Girardello) ha avuto come principale difficoltà capire cosa lui volesse - né è facile all'orale, ma almeno lì continua a correggerti finché imbocchi la strada giusta; difficile capire cosa lui volesse, e tra l'altro il professore giustamente si lamenta, perché basta andare a chiedergli e ti spiega. Solo che, mentre fai l'esame, difficilmente ti passa per la testa che la risposta che tu daresti alla domanda non sia quella che vuole lui...

Pagando questo scotto, alla fine è andata bene e sono riuscito a portare a casa un 28, che credevo di aver buttato alle ortiche impelagandomi in tableaux di Young che quasi non sarei nemmeno tenuto a sapere, avendo evitato l'esame di Metodi Matematici avendone affrontato due terzi degli argomenti a Fisica Matematica il terzo anno.

Anche se per indole sarei portato a mettermi sugli allori una settimana, non c'è tempo. Anche perché tra un esame e l'altro sarebbe anche il caso di fare un po' di ricerca, e quindi devo mettermi a ripassare i miei cari vecchi bialgebroidi.

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Identità di Jacobi-Nijenhuis

Mi rendo conto che sono quasi venti giorni che non aggiorno il blog. Non bisogna pensare che in questo lasso di tempo sia caduto in una sorta di bolla temporale, o - come si diceva l'altra mattina a lezione di relatività - che vada cadendo di buco nero in buco nero, stando attento di trovare sempre buchi neri rotanti e di non avvicinarmi troppo alla singolarità fisica, e sia quindi finito di universo in universo non potendo quindi - per ovvie ragioni - trovare un quarto d'ora per questo spazio sempre più negletto.

In realtà, più o meno - appunto - venti giorni fa, tutto bello fiero di aver concluso i calcoli sul bialgebroide di Lie iniziati a metà dicembre, scopro - insieme al professore - che i risultati trovati non sono per niente confrontabili con quello che ci aspettavamo, e che quindi - in prima approssimazione - abbiamo (ho, soprattutto) buttato via gli ultimi sei mesi. La cosa, come è facile intuire, non mi ha fatto piacere ed - in pratica - da allora a questa parte mi sono chiuso nella più monotona quotidianità tentando di non pensare, per quanto possibile, a Lie Mackenzie Xu ed a quei maledetti algebroidi. Poi, con calma, la cosa ha ripreso senso e sono impegnato in un paio di calcoli che, pur essendo tecnicamente pesanti, non riservano certo sorprese e dai quali si spera di poter gettare luce sulla regione di confine che si estende tra i miei bialgebroidi di Lie e gli algebroidi di Yano del professore.

Ho, così, dimostrato che l'identità di Jacobi per l'algebroide di Lie-Nijenhuis, che già avevamo dimostrato - in modo alquanto fumoso - per la tesi discende, come ci si aspettava, dall'identità di Jacobi per il commutatore standard e dalla torsione di Nijenhuis per il commutatore modificato. In altri termini, detto $N$ il tensore di Nijenhuis, $T$ la torsione del Nostro, l'operatore Jacobiatore, per dirla alla geometrichese (da non confondere con lo Jacobiano degli analisti) risulta

$Jac^N(X,Y,Z)=[X,T(Y,Z)]+T(X,[Y,Z])+\frac{1}{3}N^2Jac(X,Y,Z)+$
$+Jac(NX,NY,Z)-NJac(NX,Y,Z) + p.c$

dove $Jac$ è lo Jacobiatore del commutatore standard.

Ora sto lavorando all'analoga espressione per l'algebroide di Lie-Poisson, espressione che in effetti dà qualche problema in più per l'apparente annullarsi di alcuni termini in virtù di proprietà generali della derivata di Lie (che, a dire il vero, potevano essere usate anche nel primo caso, vedremo...)

Ad ogni modo torno a rassicurare i miei lettori: sono ancora vivo e attivo (forse un po' troppo).

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aka Covariante Bilineare

Due mesi di lavoro intenso, in cui si sono alternati prematuri entusiasmi e scoramenti dovuti magari alla stanchezza o ad uno stupido errore di segno. Ma, finalmente, dopo invero averne già maneggiato la forma intrinseca, oggi devo aver sotto gli occhi la scrittura in componenti del famoso tensore di compatibilità per un bialgebroide di Lie, aka covariante bilineare come è passato in letteratura il suo cugino delle varietà PN dalla cui logica sono partito, aka il mio tensore, visto che non, per le attuali conoscenze dell'autore, non risulta nulla di simile.

Con l'impegno di non dire nulla alla malvagia m.me Kosmann, dopo l'interruzione la formula (di cui non spiego la notazione un po' perché chi mi segue dovrebbe esserci abituato - la novità sono le "costanti" di struttura dell'algebroide - un po' perché chi è interessato può sempre mettersi in contatto con me e chiedere)

$R_B^{Aj}=-\frac{a_M^j}{c_{AM}^B}+b^{jM}c_{BM}^A+a_B^m\frac{\partial b^{jA}}{\partial x^m}-b^{mA}\frac{\partial a_B^j}{\partial x^m}$

Epperò non mi convince del tutto.

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Condizioni del bialgebroide di Lie

Il mio professore non vuole che ci si esponga prima di padroneggiare con sicurezza la scrittura in componenti, ma abbiamo (ho?) provato che condizione necessaria e sufficiente affinché la condizione per un bialgebroide di Lie
$[d_*s_1,s_2]_S+[s_1,d_*s_2]_S-d_*[s_1,s_2]=0$
sia f-lineare nelle due sezioni (e condizione necessaria affinché la condizione possa valere) è la soddisfazione di queste due richieste sull'accoppiamento delle ancore.

1. $ab*+ba*=0$
2. $R(\alpha,s)=a\mathcal{L}'_\alpha(s)-b\mathcal{L}'_s(\alpha)+[as,b\alpha]-ab*d\langle\alpha,s\rangle=0$

Per delucidazioni sulla mia notazione, si faccia riferimento al vecchio post in cui la condizione indicata, come avevo già avvisato, è stata sostituita dalla nuova numero 1 (nei calcoli avevo clamorosamente sbagliato un segno).

Nell'ottica di lavorare per bene sul tensore R, se qualche ingegnere o fisico specializzato in meccanica del continuo mi sa segnalare una buona trattazione algebrica dei cosiddetti tensori a due punti (o two-point tensors), è benissimo accetto.

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Magri-segnale

Se qualcuno avesse fatto affidamento alla mia condizione algebrica postata qualche tempo fa, sappia che ho scoperto ieri essere sbagliata.

Dopo impegolamenti vari sulla condizione differenziale tra le ancore, stamattina ha una cosa (che non posto perché troppo in fieri) che è a metà strada tra essere come deve e come non deve. Ma qui sappiamo quando un intervento risolutore potrebbe sistemare le cose (visto che si ha un $\langle as,df\rangle\langle b\alpha,dg\rangle -\langle as,dg\rangle\langle b\alpha,df\rangle$ dove dovrebbe esserci uno zero)...ebbene sì (come anche FB testimonia), è il momento del....(segue)

MAGRI-SEGNALE

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Notazione di Leibniz

Questo post è inteso per far arrabbiare i matematici.
Ok, non è proprio così, diciamo che vuole decantare la notazione di Leibniz per le derivate rispetto a quella di Lagrange o di Newton, e tutto per la sua elegante consistenza formale.

Come pochi dei non addetti sanno, "formale" in matematica è alla stregua di un insulto, e si legge più o meno come "non rigoroso". E, come tutte le cose non rigorose, l'uso che farò nel seguito della notazione farà venir la pellagra a più di una persona, e probabilmente anche a qualche mio professore. Intendo, infatti, dimostrare la parte "facile" del compito per gli studenti volonterosi, e cioè che l'energia libera per particella, come funzione del volume specifico, è una funzione convessa come lo è la densità d'energia, come funzione della densità; ma ci restringiamo agli intervalli per cui esiste la derivata seconda.

Diamo per buone le premesse: la densità d'energia è convessa, cioè
$\frac{d^2g}{dn^2}>0$

inoltre, la relazione tra densità e volume specifico è $n=1/v$ e l'energia per particella è
$f(v)=vg(\frac{1}{v})
La notazione di Leibniz mi permette, al contrario delle altre notazioni classiche, di ottenere immediatamente le formule per la derivata rispetto ad una diversa variabile (ricordiamo che io voglio riscrivere $\frac{d^2f}{dv^2}$ in termini di $\frac{d^2g}{dn^2}$, di cui conosco la positività). Avrò perciò

$\frac{d^2f}{dv^2}=\frac{d}{dv}(g+v\frac{dg}{dv})$
$=\frac{d}{dv}(g+v\frac{dn}{dv}\frac{dg}{dn})$
$=\frac{dg}{dv}+\frac{dn}{dv}\frac{dg}{dn}+v\frac{d^2n}{dv^2}\frac{dg}{dn}+v\frac{dn}{dv}\frac{d}{dv}(\frac{dg}{dn})$
$=(2\frac{dn}{dv}+v\frac{d^2n}{dv^2})\frac{dg}{dn}+v(\frac{dn}{dv})^2\frac{d^2g}{dn^2}$
Senza colpo ferire, abbiamo ora un termine proporzionale a $\frac{d^2g}{dn^2}$ ed un secondo termine, che adesso miracolosamente sparisce. Poiché, infatti, $\frac{dn}{dv}=-1/v^2$ e $\frac{d^2n}{dv^2}=2/v^3$, i termini fra parentesi scompaiono e rimane
$\frac{d^2f}{dv^2}=\frac{1}{v^3}\frac{d^2g}{dn^2}$ che dimostra la tesi (essendo che il volume specifico è, naturalmente, positivo).

Ora, con questo calcolo non è dimostrato tutto, perché c'è, appunto, un insieme di misura nulla in cui la derivata seconda di $g$ non è definita. Ma altrove il calcolo è fatto senza sporcarsi minimamente le mani; e non sarebbe stato facile, usando apici o puntini (rispettivamente, Lagrange e Newton)...

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Condizione algebrica

L'intento della ricerca è scrivere, mimando quello che è stato possibile fare nel caso del bialgebroide di Lie associato ad una varietà di Poisson-Nijenhuis, la condizione di bialgebroide alla Mackenzie-Xu come due condizioni di accoppiamento tra le ancore. La prima condizione, a senso, è la seguente:

Ora, perché debba valere è ancora un po' oscuro. Credo che salti fuori naturalmente se cerco di imporre la f-linearità (o, almeno, un difetto come quello per PN), come funzionava nella tesi.

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La misura della fama

Se, un domani, per trovare anche solo citato il matematico giapponese Kentaro Yano si potrà evitare di raggiungere la diciottesima pagina dei risultati (e non si annegherà tra le pagine di un certo DJ Yano, maestro veronese dell'afro), io saprò a chi attribuire il merito.

E avrà a che fare con gli algebroidi.

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Bialgebroide di Lie triangolare

Per la definizione e tutto quello che ci sarebbe da sapere (che è comunque di più di quanto sappia io), rimando all'articolo di Mackenzie e Xu che inventa il bialgebroide di Lie e le sue prime perversioni. (vedo che ci vuole non so che permesso, se qualcuno è interessato chieda che vedo cosa posso fare).

La congettura (che metto agli atti per questioni di primogenitura - capito, prof. Kosmann-Schwarzbach?) è la seguente.

Consideriamo una varietà dotata di un bivettore di Poisson (per gli amici, $P$). Il bivettore di Poisson può essere utilizzato per definire una funzione (in gergo, una mappa fibrata dal fibrato cotangente $T^*M$ al tangente $TM$, tramite l'identificazione $\langle\alpha,P^#\beta\rangle=P(\alpha,\beta)$, dove per iperformalismo distinguo $P\in \Lambda^2(E)$ bivettore da $P^#:T^*M\to TM$ mappa fibrata. $P$ è di Poisson se ha parentesi di Schouten nulla con sé stesso.

Ora, che tipo di oggetto devo associare a $N:TM\to TM$ mappa fibrata di Nijenhuis per ottenere la stessa identificazione? La torsione nulla si concretizza in una specie di nullità per una certa parentesi di Schouten? Il che porta a chiedersi: il bialgebroide $PN$ è un bialgebroide di Lie triangolare doppio? Perché ho che $(TM,T^*M,P)$ è doppio in quanto $P$ dà al cotangente la struttura di algebroide ereditandola dal tangente, e $N$ potrebbe dare a $(TM,N)$ la struttura di algebroide prendendola dall'algebroide $(T^*M,P)$...e avremmo chiuso il cerchio. O, più probabilmente, resteranno congetture.

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C-Cappuccetto Rosso

Nicolas Barbecue è un nome dietro al quale si nasconde un gruppo di studenti e ricercatori della Sapienza, che si dedica alla "scrittura" (prosa e poesia) matematica. Qualche tempo fa è circolato in università il testo di questa fiaba. Non si pretenda di capire tutto quello che c'è scritto, perché ci sono alcuni passi molto "tecnici"...

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Geometria Generalizzata e NLSM - Tesi

Anche se posso ben immaginare che siano decisamente in pochi (elencavamo tre gruppi di ricerca, a suo tempo) cui possa interessare, ho deciso finalmente di rendere disponibile la mia tesi di laurea. Avvisando che questi risultati sono già stati discussi e si sta lavorando ad una loro generalizzazione (se riusciremo a trovarla, è un altro discorso). Ad ogni modo, nell'elenco qui in sidebar e direttamente a questo link è disponibile il pdf della tesi discussa il 28 ottobre.

Generalized Geometry and Nonlinear Sigma Models

Despite I do can imagine that interested people are few (we counted three research groups, during our work), I finally decided to set my Bachelorship thesis public. I warn that these results have already been defended, and we are trying to get a generalization (if it will be possible, it's a good question). Anyway, at this link you can find the pdf file of the thesis defended on October, 28th.

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Geometria generalizzata e modelli sigma non lineari

Dopo aver espletato (quasi completamente, domani mi aspetta Il Pranzo dei Dottori) le esigenze mondane, i festeggiamenti ed i complimenti (a cui rispondo con sentiti ringraziamenti, ma mi schermisco dicendo che non ho fatto niente di importante), vediamo di fare qualcosa di utile, e parliamo in summa della tesi e del suo contenuto scientifico.

In queste ore sto esplorando gli strumenti che Internet mette a disposizione per fornire la maniera più interessante di "replicare" la mia presentazione; e, una volta fatto ciò, pubblicherò anche la versione digitale della tesi (non la mando ad arxiv perché è scritta in italiano). Per ora, mi limiterò a descrivere agli interessati il contenuto ed i risultati raggiunti.

Nella tesi abbiamo studiato gli aspetti geometrici soggiacenti alla teoria dei modelli sigma non lineari, ed in particolare alla loro estensione supersimmetrica. Poiché allo stato attuale della ricerca sembra che tutte le strutture geometriche che nascono dalla richiesta di invarianza per gruppi di supersimmetria siano riconducibili a casi particolari di una struttura chiamata Geometria Complessa Generalizzata, nel corso della tesi abbiamo delineato e seguito il percorso di sviluppo della geometria differenziale dalla nozione di varietà complessa fino alle moderne varietà complesse generalizzate, in particolare attraverso lo studio della teoria dell'algebroide e del bialgebroide di Lie. La nozione di algebroide di Lie permette di riguardare sotto un punto di vista comune tutte le varietà dotate di struttura tensoriale semplice (ad esempio le varietà complesse, le varietà di Poisson e le varietà di Nijenhuis), mentre la nozione di bialgebroide di Lie offre una cornice concettuale sotto cui affrontare le varietà bistrutturate (come le varietà di Poisson-Nijenhuis). In particolare, abbiamo affrontato e mostrato come le varietà di Poisson-Nijenhuis abbiano la struttura di bialgebroide di Lie. Abbiamo poi considerato la nozione di algebroide di Courant, che unifica il fibrato tangente e cotangente nella loro somma diretta che è detta il doppio da cui prende le mosse la definizione di struttura complessa generalizzata; è stato messo in luce come una varietà complessa generalizzata possa essere considerata una varietà dotata di tre strutture tensoriali (al posto che di una struttura $D\to D$) con opportune condizioni di compatibilità, che permetterebbero anche un loro indebolimento che porti ad una "varietà di Nijenhuis generalizzata".

Presto presentazione e/o tesi, su queste pagine.

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Ripetizioni

Alla fine l'ho data vinta a mia madre. O meglio, dopo il disastroso tentativo dell'anno scorso (cercare di insegnare la fisica dell'università ad una di farmacia che non sapeva nemmeno cosa fosse una derivata, e che ha capito - senza che lo dovessi dire esplicitamente - che a mio avviso le conveniva andare a zappare la terra), grazie all'intermediazione di Consonni, ho una studentessa (delle superiori) cui ho iniziato a dare lezioni di matematica. Come mia madre aveva sempre voluto.

Per uno degli infiniti corollari della Legge di Murphy, per giunta, lo scoglio della nostra studentessa è l'UNICO (forse unico no, ma comunque unico tra le cose che la gente quasinormale studia) argomento di matematica che non ho mai studiato - meglio, che non mi hanno mai fatto studiare; perché in un paio di occasioni avevo deciso di impararlo, e poi m'ero arreso per noia. In altre parole, il calcolo combinatorio. Che, in effetti, è più facile di quanto mi ricordassi - ma non meno noioso. A tenermi sveglio, comunque, c'era il suono della mia voce, che come noto amo ascoltare, specie quando parla aulico tipo consideriamo una funzione scelta che abbia come dominio l'insieme A in luogo di scegliamo un elemento di A (ammesso che esistano "funzioni scelta", e comunque è l'unica volta che ho sparato così alto). Che non solo io amo ascoltare, ma pare la mia studentessa, too, o forse era troppo sconvolta per interrompermi od osare farmi notare l'orologio - andando in classe, ho scoperto, con vari adolescenti passati o tutt'ora permanenti sotto le mie grinfie, di sicuro le hanno messo più paura del necessario -, fatto sta che ho dovuto notare io che, oltre ad avere la gola riarsa, non riuscivo nemmeno più a connettere, ed erano passate già più di due ore e mezza.

Sperando che almeno la differenza tra disposizioni e combinazioni le rimanga in testa (non che, prima di oggi pomeriggio, fosse a me chiara, ma sapendola non è che ci voglia il Nobel, né la medaglia Field)

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Sull'assioma di scelta

Chiaramente il merito non è mio, ma del nostro amico Paolo N. Cerea, laureando in matematica; si capisce dal fatto che l'italiano è comprensibile, l'articolo è essenziale e, soprattutto, non viene tirata in ballo nemmeno una volta la derivata di Lie - il che sarebbe difficile, tra l'altro, trattandosi di fondamenti della matematica.

Al limite, sarà lui a vedersela con il diventare logico, oppure filosofo: insomma brutta gente; ci propone, infatti, la dimostrazione (PDF document) della famosa equivalenza tra assioma di scelta, Lemma di Zorn e Teorema di Zarnelo (tra l'altro, ormai ho la deformazione dei reference, la questione era già stata posta, nella blogosfera "allo stato delle conoscenze dell'autore", dal Prooof).

Credo, però, che i lettori lo capiranno prima di me, anche perché c'è un problemino di analisi che mi stuzzica...

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Tutto si tocca

E vale anche per la matematica della tesi. Tenetevi forte alle sedie.

E, con questo, automaticamente consigliamo la visione del bellissimo film di cui il trailer.

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Maturano?

Io non volevo credere ai telegiornali, ma una rapidissima navigata in Internet ha confermato che c'è un sacco di gente che, nonostante i controlli e tutto il resto, cerca di passarsi le soluzioni delle seconde prove. Intanto, ho recuperato il testo del secondo problema di matematica. So che è facile fare il grosso e considerarlo banale, ma ho appena scritto il "disegno" della soluzione su un foglio e l'ho appeso sulla porta di casa, così mio fratello si mangerà le mani per non aver ripassato trigonometria.

E, comunque, mi mettono addosso tristezza. Questi professori che si fanno fregare, questi studenti che si mettono in contatto con amici fuori che poi fanno di tutto per aiutarli, i mille siti che si richiamano l'un l'altro in cerca di soluzioni. Bah. Io mi ero divertito come un matto, alla Seconda Prova.

E NON risolvete il problema di matematica come dicono su studentville.it, perché io vi rimbalzerei a occhi chiusi, se usate gli integrali per fare quell'area.

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Proof

Come se mi avesse letto nel pensiero, oggi ad Istituzioni di Fisica Matematica l'affermazione del post precedente è stata dimostrata con ampia generalità, nell'ambito della teoria delle distribuzioni. (E dove sennò, visto che la delta è una distribuzione?)

E pensare che a volte mi chiedevo perché ho voluto infilarmi in un corso per matematici...

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Claim

Lasciamoci alle spalle quel vecchio marciume della non differenziabilità ed osiamo l'inosabile.

Noi affermiamo che la derivata seconda di `|x|` esiste, ed è una delta di Dirac. Anzi, in particolare si ha
`{d^2|x|}/{dx^2}=2\delta(x)`

Siamo troppo presi dai compiti di meccanica per dimostrarlo. Dunque, se non è vero si produca un controesempio.

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O(1,3) e l'orologio

Così mi gioco la patente di matematica

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Carnevale della Matematica

Sì, stiamo tramando qualcosa.

Basta che i lettori si ricordino che a Carnevale, ogni scherzo vale.

Anche perché, altrimenti, mi ritirano la patente di matematica.

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