Equazione delle onde

Per qualche motivo che non colgo appieno, ho scoperto di essere nella blogroll di Pensieri Sottili, un interessante blog il cui autore posta un'ottima e semplice divulgazione di aspetti di teorie fisiche, con particolare attenzione - mi sembra di cogliere - alla relatività. Immagino, ma non posso esserne certo, che abbia intercettato alcuni vecchi post con qualche dimostrazione di fisica e li abbia ritenuti adeguati. Questo fatto mi dà la stura a riportare la derivazione dell'equazione delle onde della fisica matematica
$\frac{del^2 u}{del t^2}-v^2\frac{del^2 u}{del x^2}=0$
non alla consueta maniera di D'Alembert - da cui, tra l'altro, l'equazione prende il nome - ma nel formalismo di Lagrange.

Oggi Noja, al corso di Istituzioni di Fisica Matematica, l'ha presentata per il caso della corda. Sono certo che si può procedere analogamente per la membrana, il che renderebbe la cosa un po' più stimolante, ma arrivo decisamente stanco a stasera e quindi farò una cosa facile.

Il problema di base dello scrivere l'equazione delle onde è il fatto di operare su un sistema continuo, mentre sappiamo che le equazioni di Newton, alla base della dinamica, descrivono un sistema di punti materiali. È, pertanto, necessario trovare un modo di operare il passaggio al limite del continuo a partire dalla meccanica dei punti materiali. Il metodo che utilizzeremo sarà quello di risolvere l'equazione di Lagrange per un sistema di $N+2$ corpi puntiformi di massa $m$, equispaziate lungo $x$, tale per cui $N$ particelle sono libere di muoversi lungo l'asse $z$ e le particelle 0-esima e N+1-esima sono vincolate a $z=0$. Osserviamo immediatamente che i gradi di libertà sono, appunto, $N$ - $N$ particelle possono avere un moto rettilineo lungo $z$. Chiamiamo $u_i$ la coordinata di configurazione della i-esima particella.

Vogliamo risolvere l'equazione di Lagrange per gli N+2 corpi, e vedere "l'effetto che fa" se facciamo un passaggio al continuo ragionevole. Per risolvere il problema, ricordiamo che
$\frac{d}{dt}\frac{del cc L}{del dot q_i} - \frac{del cc L}{del q_i}=0$
dove la funzione lagrangiana $cc L = T-V$
Dobbiamo scrivere, quindi, l'energia cinetica e l'energia potenziale del sistema. L'energia cinetica è quasi banale. Infatti, si tratta di N masse che si muovono con velocità $dot u_i$, per cui avremo
$T=sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m dot u_i^2$
L'energia potenziale si calcola considerando le masse legate da molle con costante elastica $k$ e lunghezza a riposo (per semplicità) pari a 0. Avremo, così,
$V=sum_{i=0}^N\frac{1}{2}k(a^2+(u_{i+1}-u_i)^2)$
dove abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora e l'informazione che la distanza in ascissa tra le masse è sempre pari ad $a$. Abbiamo, perciò,
$cc L = \frac{m}{2}sum_{i=0}^N dot u_i^2 - frac{(N+1)ka^2}{2} - frac{k}{2}sum_{i=0}^N(u_{i+1}-u_i)^2$

Risolvendo l'equazione di Lagrange per la particella i-esima, abbiamo che
$m ddot u_i = k[(u_{i+1}-u_i)-(u_i-u_{i-1})]$
Passiamo ora alla parte più delicata della derivazione, cioè il limite del continuo. Per prima cosa, riscriviamo in modo apparentemente strambo l'equazione, cioè come
$\frac{m}{a}ddot u_i =ka\frac{(u_{i+1}-u_i)/a-(u_i-u_{i-1})/a}{a}$
Per prima cosa, notiamo che la sostanza è sempre la stessa, abbiamo solo diviso i due membri per $a$, dopo aver moltiplicato il secondo per la stessa quantità. Osserviamo cosa succede per $a->0$. Perché l'equazione non "esploda", è necessario chiedere che anche $m->0$, in modo che $m/a->\rho$, dove $\rho$ è un numero finito, con le dimensioni di una densità. Allo stesso modo, perché il prodotto $ka$ rimanga finito, dobbiamo richiedere che $k->oo$. Chiamiamo $ka=\tau$, che ha le dimensioni di una forza. Osserviamo ora che i termini del membro di sinistra possono essere letti come una discretizzazione della derivata seconda, essendo il limite (ricordiamoci che $a->0$) del rapporto incrementale delle derivate prime in punti prossimi.

A questo punto, decidendo di chiamare $u(x,t)$ la funzione che interpola le posizioni $u_i$, otteniamo l'equazione
$u_{tt}-v^2u_{x x}=0$
dove abbiamo chiamato $v^2=\frac{\tau}{\rho}$ la velocità con cui - è possibile dimostrare - si propaga il segnale lungo la corda.

Che dire? Viva Lagrange!