venerdì 29 febbraio 2008

Schrödinger /2

Eravamo arrivati a trovare la relazione tra energia e pulsazione, $E=bar h \omega=\frac{h}{2\pi}2\pi\nu=h\nu$. Niente di più naturale. Questo risultato è ottenuto, indipendentemente, dagli studi di Planck sulla radiazione di corpo nero e - seguendo la sua idea - di Einstein sull'effetto fotoelettrico. Notiamo un'altra relazione che ci sarà utile.
Consideriamo $E=1//2mv^2 = frac{p^2}{2m}$. Da $p=mv$ osserviamo che
$\frac{dE}{dp}=\frac{p}{m}=v=\frac{d\omega}{dk}$
, dove l'ultima relazione viene dal fatto che, nel post precedente, abbiamo identificato la velocità di gruppo con quella della particella. Eguagliando otteniamo
$\frac{dE}{dp}=\frac{d\omega}{dk}$
da cui è evidente che
$\frac{dp}{dk}=\frac{dE}{d\omega}$, e quindi $p=bar h k$

Passiamo ora alla seconda parte della derivazione. Abbiamo già sfruttato l'analogia tra l'ottica geometrica e la meccanica. Sappiamo anche, però, che l'ottica geometrica altro non è che il limite, per lunghezze d'onda che tendono a zero, dell'ottica ondulatoria. Forse è possibile, allora, pensare anche alla nostra meccanica come caso limite di una meccanica ondulatoria, il cui formalismo era già stato sviluppato per la fluidodinamica, o in generale per la meccanica del continuo. I modi normali di oscillazione di un sistema continuo obbediscono all'equazione di Helmotz
$(\grad^2+k^2)u=0$, dove u è uno dei modi normali.
Dall'equazione che abbiamo scritto poco fa possiamo ricavare il valore di $k^2$, che risulta
$k^2=\frac{p^2}{bar h^2}=\frac{2m(E-V(x))}{bar h^2}$
Riordinando l'equazione, e portando a destra l'energia, abbiamo
$[-\frac{bar h^2}{2m}\grad^2 + V(x)]u=Eu$
Questa è l'equazione nota come equazione di Schroedinger agli stati stazionari.

Consideriamo ora, però, che forma avrà una soluzione viaggiante. Avremo un'onda, di equazione $\psi=u(x)e^{-i\omega t}$. Ricordiamo che $E=bar h \omega$, e che possiamo facilmente ottenere $\omega$ derivando rispetto al tempo la funzione $\psi$, a meno di fattori. In effetti, abbiamo che, per una funzione che dipende esplicitamente dal tempo come quella nella forma data
$E=bar h\omega = ibar h \frac{\del}{\del t}$
Otteniamo, perciò, l'equazione di Schroedinger
$[-\frac{bar h^2}{2m}\grad^2 + V(x)]\psi=i bar h\frac{\del \psi}{\del t}$

2 commenti:

Unknown ha detto...

Da applausi!
Grazie per averlo fatto.

Unknown ha detto...

Ciao,
posso sudderirti l'argomento per un nuovo post?
Cerca notizie in merito all'elezione di Maiani quale nuovo direttore del CNR.
Ciao

Cristian