Schrödinger /2

Eravamo arrivati a trovare la relazione tra energia e pulsazione, $E=bar h \omega=\frac{h}{2\pi}2\pi\nu=h\nu$. Niente di più naturale. Questo risultato è ottenuto, indipendentemente, dagli studi di Planck sulla radiazione di corpo nero e - seguendo la sua idea - di Einstein sull'effetto fotoelettrico. Notiamo un'altra relazione che ci sarà utile.
Consideriamo $E=1//2mv^2 = frac{p^2}{2m}$. Da $p=mv$ osserviamo che
$\frac{dE}{dp}=\frac{p}{m}=v=\frac{d\omega}{dk}$
, dove l'ultima relazione viene dal fatto che, nel post precedente, abbiamo identificato la velocità di gruppo con quella della particella. Eguagliando otteniamo
$\frac{dE}{dp}=\frac{d\omega}{dk}$
da cui è evidente che
$\frac{dp}{dk}=\frac{dE}{d\omega}$, e quindi $p=bar h k$

Passiamo ora alla seconda parte della derivazione. Abbiamo già sfruttato l'analogia tra l'ottica geometrica e la meccanica. Sappiamo anche, però, che l'ottica geometrica altro non è che il limite, per lunghezze d'onda che tendono a zero, dell'ottica ondulatoria. Forse è possibile, allora, pensare anche alla nostra meccanica come caso limite di una meccanica ondulatoria, il cui formalismo era già stato sviluppato per la fluidodinamica, o in generale per la meccanica del continuo. I modi normali di oscillazione di un sistema continuo obbediscono all'equazione di Helmotz
$(\grad^2+k^2)u=0$, dove u è uno dei modi normali.
Dall'equazione che abbiamo scritto poco fa possiamo ricavare il valore di $k^2$, che risulta
$k^2=\frac{p^2}{bar h^2}=\frac{2m(E-V(x))}{bar h^2}$
Riordinando l'equazione, e portando a destra l'energia, abbiamo
$[-\frac{bar h^2}{2m}\grad^2 + V(x)]u=Eu$
Questa è l'equazione nota come equazione di Schroedinger agli stati stazionari.

Consideriamo ora, però, che forma avrà una soluzione viaggiante. Avremo un'onda, di equazione $\psi=u(x)e^{-i\omega t}$. Ricordiamo che $E=bar h \omega$, e che possiamo facilmente ottenere $\omega$ derivando rispetto al tempo la funzione $\psi$, a meno di fattori. In effetti, abbiamo che, per una funzione che dipende esplicitamente dal tempo come quella nella forma data
$E=bar h\omega = ibar h \frac{\del}{\del t}$
Otteniamo, perciò, l'equazione di Schroedinger
$[-\frac{bar h^2}{2m}\grad^2 + V(x)]\psi=i bar h\frac{\del \psi}{\del t}$