venerdì 25 gennaio 2008

Il mio cervello fuma...

...a forza di studiare meccanica - e così, tra l'altro, sfuma l'ipotesi di ridare Matematica, perché speravo di arrivare al punto a cui sono adesso un po' prima, e di avere un minimo per rinfrescare l'altra.

Sono arrivato, finalmente, ad avere gli strumenti per affrontare quasi ogni esercizio. Anche se adesso ne ho in ballo uno che non so da che parte girare.

Abbiamo una funzione d'onda, espressa in coordinate sferiche,
Psi(r,\theta,\phi) = Aexp(-r/r_0)[1;sin\phi]
dove [1;sin\phi] è uno spinore.

Mi chiede i valori misurabili di J_z (J momento angolare totale). Da questo, presumo che la funzione d'onda abbia un momento angolare orbitale ed uno di spin; e, assumendo che sia così, potrebbe essere che ho
psi = Aexp(-r/r_0) +> + Aexp(-r/r_0)sin\phi ->.
Ma come faccio da sin(phi) a trovare le armoniche sferiche che mi servono per avere gli autovalori di L_z?

5 commenti:

Chiara ha detto...

Secondo me...è più facile imparare il cinese.

Ammiraglio Vlad ha detto...

Per me il risultato sta sull'altra faccia del foglio, prova a girarlo.

Cristian ++ ha detto...

Ciao,
premetto che non è farina del mio sacco. Perchè l'esercizio l'abbiamo fatto al tutoraggio.

Quello che hai scritto è corretto.
|\psi> = Aexp(-r/r_0) |+> + Aexp(-r/r_0)sin\phi |->.

Il primo termine si sviluppa su Y(0,0) e fin qui nessuna novità.

Lo sviluppo in armoniche del secondo termine è infingardo.
Si vorrebbe procedere come al solito, sviluppando sulle armoniche sferiche per scrivere:
|\psi> = c(l,m)|l,m> con c(l,m) = /l,m|psi>

il problema è che il prodotto scalare con il quale si ottiene c(l,m) contiene infiniti termini. Si devono sommare infinite armoniche sferiche per ottenere sin\phi.
E' più conveniente affrontare il problema in un altro modo. Prima di tutto scriviamo:
sin\phi = (1/2i)*(exp{i*\phi} - exp{-i*\phi})
Dopodichè ricordiamo che nelle armoniche sferiche il termine exp{i*m*\phi} indica l'autostato di L_z con autovalore m.
Infatti, scrivendo L_z in coordinate polari si trova L_z = -i*\h_bar * d/d(\phi)
Si capisce allora perchè non riuscivamo a scrivere |\psi> = |l,m>/l,m|\psi>
perchè si ha una somma infinita su l (su tutti gli l interi tranne l = 0).
Quindi possiamo scrivere:
|\psi> = A*exp(-r/r_0)*(|+> + (1/2i)*exp{i*\phi} - (1/2i)*exp{-i*\phi})
O equivalentemente scrivendo i ket |m,m_s>
|\psi> = A*exp(-r/r_0)*(|0,+> + |1,-> + |-1,->)
Riassumendo si trova:
L_z S_z J_z
0 1/2 1/2
1 -1/2 1/2
-1 -1/2 -3/2

Calcolato A per la normalizzazione, le probabilità si trovano facilmente.
Scusa la pedanteria, ma:
*almeno ho ripassato un po' anch'io.
*se ho scritto qualche castroneria, tu te ne accorgi e poi me lo dici.
*un po' di bra e ket rendono più elegante questo post.
Ciao

Cristian

p.s.: grasse risate quando blogspot ha preso i bra per dei tag HTML. "Attenzione, non accettiamo come tag HTML, la proiezione del vettore di stato sulle armoniche sferiche. Errore!"

Cassa ha detto...

Teh, grazie. Cmq, devo trovare il modo di implementare MathML sul blog. Ormai non è più eludibile

Cassa ha detto...

A dire il vero, c'ero arrivato a exp(+-i\phi) --> m=+-1...ma avevo seri dubbi sul fatto che si potesse trascurare l...