Notazione di Leibniz

Questo post è inteso per far arrabbiare i matematici.
Ok, non è proprio così, diciamo che vuole decantare la notazione di Leibniz per le derivate rispetto a quella di Lagrange o di Newton, e tutto per la sua elegante consistenza formale.

Come pochi dei non addetti sanno, "formale" in matematica è alla stregua di un insulto, e si legge più o meno come "non rigoroso". E, come tutte le cose non rigorose, l'uso che farò nel seguito della notazione farà venir la pellagra a più di una persona, e probabilmente anche a qualche mio professore. Intendo, infatti, dimostrare la parte "facile" del compito per gli studenti volonterosi, e cioè che l'energia libera per particella, come funzione del volume specifico, è una funzione convessa come lo è la densità d'energia, come funzione della densità; ma ci restringiamo agli intervalli per cui esiste la derivata seconda.

Diamo per buone le premesse: la densità d'energia è convessa, cioè
$\frac{d^2g}{dn^2}>0$

inoltre, la relazione tra densità e volume specifico è $n=1/v$ e l'energia per particella è
$f(v)=vg(\frac{1}{v})
La notazione di Leibniz mi permette, al contrario delle altre notazioni classiche, di ottenere immediatamente le formule per la derivata rispetto ad una diversa variabile (ricordiamo che io voglio riscrivere $\frac{d^2f}{dv^2}$ in termini di $\frac{d^2g}{dn^2}$, di cui conosco la positività). Avrò perciò

$\frac{d^2f}{dv^2}=\frac{d}{dv}(g+v\frac{dg}{dv})$
$=\frac{d}{dv}(g+v\frac{dn}{dv}\frac{dg}{dn})$
$=\frac{dg}{dv}+\frac{dn}{dv}\frac{dg}{dn}+v\frac{d^2n}{dv^2}\frac{dg}{dn}+v\frac{dn}{dv}\frac{d}{dv}(\frac{dg}{dn})$
$=(2\frac{dn}{dv}+v\frac{d^2n}{dv^2})\frac{dg}{dn}+v(\frac{dn}{dv})^2\frac{d^2g}{dn^2}$
Senza colpo ferire, abbiamo ora un termine proporzionale a $\frac{d^2g}{dn^2}$ ed un secondo termine, che adesso miracolosamente sparisce. Poiché, infatti, $\frac{dn}{dv}=-1/v^2$ e $\frac{d^2n}{dv^2}=2/v^3$, i termini fra parentesi scompaiono e rimane
$\frac{d^2f}{dv^2}=\frac{1}{v^3}\frac{d^2g}{dn^2}$ che dimostra la tesi (essendo che il volume specifico è, naturalmente, positivo).

Ora, con questo calcolo non è dimostrato tutto, perché c'è, appunto, un insieme di misura nulla in cui la derivata seconda di $g$ non è definita. Ma altrove il calcolo è fatto senza sporcarsi minimamente le mani; e non sarebbe stato facile, usando apici o puntini (rispettivamente, Lagrange e Newton)...