Ormai ho rinunciato ad usare LaTeX con blogger perché, anche riuscendo a dare una parvenza decente alla versione html, metterla nel post la sballa tutta. Quindi mi arrangerò con i testi normali. Se dovrò usare qualche cosa strana (apici, pedici ecc) la spiego -al limite farà fede la sintassi TeX- Mi si perdoni la notazione non standard per i vettori di stato ma usare le braket (cioè i simboli di minore e maggiore) mi sballa tutto l'html e blogger impazzisce.
Il titolo in latino (che richiama Spinoza e la sua Ethica) ricorda che il principio verrà dimostrato prima in astratto, con semplici conti. Poi lo caleremo sulle grandezze fisiche, e lì forse ci vorrà un po' di fede perché altrimenti il discorso si allargherebbe troppo.
Le grandezze fisiche in meccanica quantistica si chiamano OSSERVABILI e sono considerate operatori (una sorta di matrici generalizzate, che si "mangiano" una funzione e "sputano fuori" una funzione modificata). Il principio di indeterminazione si dimostra per due osservabili qualsiasi A e B. Per prima cosa, definiamo il concetto di incertezza su un'operatore. Procediamo come in statistica (questo è lo scotto che dobbiamo pagare all'interpretazione di Copenaghen). Per prima cosa facciamo la media di un osservabile; consideriamo come misura dell'incertezza quella che in statistica è la varianza, cioè la media degli scarti quadratici; infatti, una grandezza misurata con nessuna incertezza risulta cadere sempre sulla media ed avere varianza nulla. Per fare calcoli di medie bisogna fare dei prodotti scalari, che dovrei indicare con dei bracket ma mi si perdonerà se uso le parentesi graffe, che in questa dimostrazione non danno adito ad ambiguità (non uso parentesi di Poisson, insomma).
Si ha che {A} e {B} sono la media degli osservabili A e B, e {(A-{A})^2} è la varianza, cioè l'incertezza (DeltaA)^2 per l'osservabile A. Lo stesso vale per B. Ora permettetemi di fare un cambio di variabili, chiamando "A = A - {A} e lo stesso per "B. È un po' come aver ricentrato la distribuzione degli osservabili attorno alla loro media. Prendiamo ora la combinazione lineare (e nuovo osservabile) "A -is"B, dove i è l'unità immaginaria che da ora in poi non scriverò in corsivo e s è un numero reale qualsiasi.
Facciamo la norma quadra del vettore, che è il prodotto scalare del vettore con sé stesso. Per il prodotto scalare uso ancora le parentesi graffe, mentre la barra verticale () separa la parte antilineare sulla sinistra da quella lineare sulla destra (cioè {aAbB} = ba*{AB} dove a* è il complesso coniugato di A).
{"A-is"B"A-is"B}= {"A^2}+s^2{"B^2} +is{"B"A}-is{"A"B} = {"A^2}+s^2{"B^2} -s{i[A,B]},
avendo indicato con [A,B] il commutatore AB-BA.
Ora, per definizione di norma, essa è positiva. Mi accorgo poi dalla definizione di "A e "B che l{"A^2}=DeltaA^2. Inoltre, il commutatore assume importanza perché, in generale, il prodotto tra due operatori (come per le matrici) non è commutativo, mentre i numeri, come {A}, ne escono indenni. L'espressione scritta, quindi, deve soddisfare
(DeltaA^2)+s^2(DeltaB^2) -s{i[A,B]} >= 0. Questa è una forma quadratica in s, che è sempre maggiore o uguale a zero se il suo discriminante è minore o uguale a zero. Dalla formula nota fin dal liceo, questo implica b^2-4ac <=0, cioè
4(DeltaA^2)(DeltaB^2) - {i[A,B]}^2 >= 0.
Estraendo le radici, ho
DeltaA DeltaB >= 1/2{i[A,B]}, che è la forma generalizzata per l'indeterminazione.
Ora caliamoci nelle osservabili x e p (posizione e momento, che è direttamente proporzionale alla velocità). Il loro commutatore, che si può calcolare dalle definizioni degli operatori associati, vale [x,p]=-i(htagliato). Quindi, sostituendo, ho
Deltax, Deltap >= 1/2(htagliato), che è quello che volevasi dimostrare
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