Il commento del professore ha accelerato la mia intenzione di chiarire 'sta storia del differenziale. Ho trovato questa pagina che è forse un po' lunga ma ha il pregio di essere molto chiara.
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Miscellanea/IlDifferenziale.htm
Certo, possiamo vederla come Leibniz e considerare il differenziale un incremento infinitesimo, ma...
Non ho tempo, e nemmeno ho sottomano la documentazione necessaria per approfondire la questione (un'altra di quelle che non fanno dormire la gente di notte...) Ceterum censeo differentiale signum non esse operatorem
Tutto nasce dalla firma di uno che frequenta il forum degli utilizzatori di LaTeX (programma che serve per scrivere pubblicazioni di carattere scientifico), cioè
Poiché mi ha lasciato un po' basito il contenuto della frase, ho un po' approfondito la ricerca ed ho trovato un altro post dove spiegava cosa intendeva, e cioè che per lui il segno d che precede i differenziali (ad esempio i dx/dt delle derivate) non va scritto (come ho fatto io) in tondo, considerandoli quindi come un operatore sulle variabili x o t o altre, ma in corsivo (considerandoli quindi come un altro tipo di variabile). E lo ritiene con tanta convinzione da parafrasare Catone del ceterum censeo Carthago delenda esse.
Io ritengo di no, che sia un operatore. Lo chiarirò in seguito, ma io direi che il differenziale manda uno spazio nel suo spazio tangente; e tanto dovrebbe bastare per elevarlo al rango di operatore. Ma vedremo meglio in seguito.
Ormai ho rinunciato ad usare LaTeX con blogger perché, anche riuscendo a dare una parvenza decente alla versione html, metterla nel post la sballa tutta. Quindi mi arrangerò con i testi normali. Se dovrò usare qualche cosa strana (apici, pedici ecc) la spiego -al limite farà fede la sintassi TeX- Mi si perdoni la notazione non standard per i vettori di stato ma usare le braket (cioè i simboli di minore e maggiore) mi sballa tutto l'html e blogger impazzisce.
Il titolo in latino (che richiama Spinoza e la sua Ethica) ricorda che il principio verrà dimostrato prima in astratto, con semplici conti. Poi lo caleremo sulle grandezze fisiche, e lì forse ci vorrà un po' di fede perché altrimenti il discorso si allargherebbe troppo.
Le grandezze fisiche in meccanica quantistica si chiamano OSSERVABILI e sono considerate operatori (una sorta di matrici generalizzate, che si "mangiano" una funzione e "sputano fuori" una funzione modificata). Il principio di indeterminazione si dimostra per due osservabili qualsiasi A e B. Per prima cosa, definiamo il concetto di incertezza su un'operatore. Procediamo come in statistica (questo è lo scotto che dobbiamo pagare all'interpretazione di Copenaghen). Per prima cosa facciamo la media di un osservabile; consideriamo come misura dell'incertezza quella che in statistica è la varianza, cioè la media degli scarti quadratici; infatti, una grandezza misurata con nessuna incertezza risulta cadere sempre sulla media ed avere varianza nulla. Per fare calcoli di medie bisogna fare dei prodotti scalari, che dovrei indicare con dei bracket ma mi si perdonerà se uso le parentesi graffe, che in questa dimostrazione non danno adito ad ambiguità (non uso parentesi di Poisson, insomma).
Si ha che {A} e {B} sono la media degli osservabili A e B, e {(A-{A})^2} è la varianza, cioè l'incertezza (DeltaA)^2 per l'osservabile A. Lo stesso vale per B. Ora permettetemi di fare un cambio di variabili, chiamando "A = A - {A} e lo stesso per "B. È un po' come aver ricentrato la distribuzione degli osservabili attorno alla loro media. Prendiamo ora la combinazione lineare (e nuovo osservabile) "A -is"B, dove i è l'unità immaginaria che da ora in poi non scriverò in corsivo e s è un numero reale qualsiasi.
Facciamo la norma quadra del vettore, che è il prodotto scalare del vettore con sé stesso. Per il prodotto scalare uso ancora le parentesi graffe, mentre la barra verticale () separa la parte antilineare sulla sinistra da quella lineare sulla destra (cioè {aAbB} = ba*{AB} dove a* è il complesso coniugato di A).
{"A-is"B"A-is"B}= {"A^2}+s^2{"B^2} +is{"B"A}-is{"A"B} = {"A^2}+s^2{"B^2} -s{i[A,B]},
avendo indicato con [A,B] il commutatore AB-BA.
Ora, per definizione di norma, essa è positiva. Mi accorgo poi dalla definizione di "A e "B che l{"A^2}=DeltaA^2. Inoltre, il commutatore assume importanza perché, in generale, il prodotto tra due operatori (come per le matrici) non è commutativo, mentre i numeri, come {A}, ne escono indenni. L'espressione scritta, quindi, deve soddisfare
(DeltaA^2)+s^2(DeltaB^2) -s{i[A,B]} >= 0. Questa è una forma quadratica in s, che è sempre maggiore o uguale a zero se il suo discriminante è minore o uguale a zero. Dalla formula nota fin dal liceo, questo implica b^2-4ac <=0, cioè
4(DeltaA^2)(DeltaB^2) - {i[A,B]}^2 >= 0.
Estraendo le radici, ho
DeltaA DeltaB >= 1/2{i[A,B]}, che è la forma generalizzata per l'indeterminazione.
Ora caliamoci nelle osservabili x e p (posizione e momento, che è direttamente proporzionale alla velocità). Il loro commutatore, che si può calcolare dalle definizioni degli operatori associati, vale [x,p]=-i(htagliato). Quindi, sostituendo, ho
Deltax, Deltap >= 1/2(htagliato), che è quello che volevasi dimostrare
Vorrei fare un post per finire di spiegare ben bene il principio di indeterminazione di Heisenberg, dopo quello accennato dell'altra settimana, ma ci sono troppe formule e mi sto scornando nell'usare i convertitori LaTeX-HTML.
Se uno tende a non avere fede nei passaggi, gli converrà ripassare i numeri complessi.
Intanto, aggiungo alla serie dei sabato veramente interessanti quello di ieri. Era in programma già da un po', da quando io e Fabio siamo andati a BergamoScienza. Così, ieri, partiamo con l'intenzione di andare a vedere lo spettacolo La ragione la tenacia e l'amore messo in scena dal gruppo matematico-teatrale del Liceo Bagatta di Desenzano. Inutile dire che ne ero venuto a conoscenza frequentando i blog del cd. Olympus Bloggorum Desenzani; comunque ho cercato di recuperarne il testo per leggermi lo spettacolo, ma soggetto e sceneggiatura sono dei professori del liceo, e pertanto nessun altro ha in cartellone la rappresentazione.
Siamo partiti da casa nel pomeriggio, perché ieri era già una bella giornata qui a Rosciate, ed era facile immaginare che sarebbe stata ancora migliore sul Lago di Garda. Con un rapido viaggio d'andata raggiungiamo Salò, dove ci dedichiamo al passeggio sul lungo lago, avanti ed indietro, approffittando ogni tanto per fare foto belle o curiose (e che aspetto, in modo di poterle pubblicare da qualche parte). Dopo lungo passeggiare, mentre il sole calava dietro le colline moreniche su cui, tra l'altro, si stendono le piccole frazioni di San Felice, ci sediamo nel più classico dei bar per bere l'aperitivo. Bisogna dire che, pur non facendo affatto freddo, o non è costume prendere l'aperitivo, oppure tutti mangiano all'ora delle galline, perché già alle sei e mezza il paese si è svuotato ed anche ai tavolini dei vari bar non erano sedute più di quattro o cinque persone.
Dopo l'aperitivo ci dirigiamo a San Felice, optando per la strada che costeggia il golfo di Salò fino a Portese e poi sale a tornanti fino alla frazione Cisano e raggiungendo poi il capoluogo comunale. Alle sette e qualcosa che erano non c'era in giro un'anima viva; fortunatamente abbiamo trovato una rusticissima trattoria aperta dove cenare. Baccalà, per me - non buono come quello alla vicentina, ma comunque dignitosissimo. Scena più divertente è quando ordiniamo da bere: mezzo litro di chiaretto (neanche tanto, a ben vedere). La signora ci chiede se vogliamo anche dell'acqua: noi la si fissa e, insieme, chiediamo «Acqua? E perché?». L'abbiamo un po' scioccata.
Dopo cena andiamo alle scuole medie per lo spettacolo, il vero motivo della nostra gita. Ci fanno aspettare un po' fuori, dando la colpa al regista che è un perfezionista. Poi ci accomodiamo; nel mezzo dell'atrio delle medie questi hanno realizzato un teatro con tanto di cavea. Noi sorridiamo all'idea di vedere i bambini correre fuori dalle aule al suono dell'intervallo e precipitare giù per i tre gradoni. Non ci sono moltissime persone, ma una cinquantina sì. Lo spettacolo inizia.
Si vede che ha l'impostazione di regia tipica del laboratorio teatrale. Devono fare un corso standard, questi insegnanti di recitazione, perché anche il gruppo teatrale del mio Lussana aveva lo stesso stile. Ma altri attori. E, soprattutto, altri autori. Perché gli attori sono stati bravi, alcuni fuori della norma. Ma chi ha scritto il testo merita veramente tanto di cappello.
Dopo lo spettacolo siamo andati a complimentarci ed anche, a dire il vero, a farmi riconoscere; ne sentivo il bisogno, anche perché ero un po' a disagio a scambiare opinioni con persone che non avevo mai incontrato. Adesso, almeno, penso mi verrà più naturale.
Prima di metterci sulla via del ritorno, ancora un po' di show alla macchinetta che vende latte crudo, e poi a casa. Scegliendo di non fare l'autostrada perché tanto in provincia di Brescia anche statali e provinciali sono molto rapide. Peccato non aver considerato che da Sarnico a Rosciate si era a Bergamo, con tutti i semafori che la cosa ha comportato.
Non l'ho scritto mercoledì perché aspettavo di averne una dimostrazione completa, che è arrivata oggi in mattinata.
Ebbene sì, dopo tanta fatica, elettronica digitale è finita. Adesso ci aspetta quella analogica, ma passerà almeno un mese prima di rimetterci ai banconi del laboratorio. Mercoledì, in capo ad una ventina di minuti, il nostro semaforo intelligente funzionava, come si può edurre da questo filmato che, opportunamente girato da Perri, è stato inserito questa mattina su YouTube.
La voce fastidiosa che chiede di ricontrollare gli schemi ed il codice è la mia. Quella dell'adolescente esaltata è di Tarantino. La battuta greve è di Perri.
Abbiamo programmato il processore che comanda le luci e legge i sensori (i tasti che Tarantino preme in preda a convulsioni) in Assembler. Se qualcuno avesse interesse ai dettagli mi faccia sapere, che cerco il modo di farglieli avere. E i miei compagni non si lamentino per il diritto d'autore perché è abbastanza chiaro di chi è il codice.
Solo un accenno al senatore Polito, noto battitore libero del PD, già direttore del Riformista - dico "battitore libero" perché è uno dei pochi a dire sempre pane al pane, anche quando non è politicamente corretto o va contro gli interessi della propria parte.
Sul Corriere on line di oggi c'è una sua dichiarazione che mi va di riportare qui (a proposito dei voti di ieri in Senato)
Altro che le sette puttane di cui parla Berlusconi, qui c'è uno sputtanamento generale.
Quando uno non ha niente di meglio da fare, mette il suo nome su Google e vede cosa salta fuori. Avendo io provato diverse volte, con assoluta certezza affermo che le prime pagine sono quelle di un certo mio omonimo programmatore, sul cui blog c'è un rimando al test "Che programmatore sei", rintracciabile qui.
Ho fatto il test, benché non mi consideri un programmatore, avendo avuto spesso necessità di farlo, sia per impegni universitari che per passione - ed anzi, da adolescente era una cosa che mi assorbiva parecchio. Sono perciò risultato un DHSC
You're a Doer.
You are very quick at getting tasks done. You believe the outcome is the most important part of a task and the faster you can reach that outcome the better. After all, time is money.
You like coding at a High level.
The world is made up of objects and components, you should create your programs in the same way.
You work best in a Solo situation.
The best way to program is by yourself. There's no communication problems, you know every part of the code allowing you to write the best programs possible.
You are a Conservative programmer.
The less code you write, the less chance there is of it containing a bug. You write short and to the point code that gets the job done efficiently.
A dirla tutta, non credo ci fosse bisogno di un test per saperlo.
Nonostante il clima di divertimento, verso le cinque ha iniziato a fischiare un bel vento gelido e abbiamo deciso di fare ritorno alle nostre calde casucce rosciatesi, arrivando in tempo per la cena di compleanno di mia sorella. Fatto questo, avrei probabilmente concluso il mio fine settimana, fosse stato per me, ma il sabato sera uno s'impone di uscire, e nel fare un salto in Oratorio ho incontrato Fabio e Geordie con cui siamo saliti in Selvino a bere qualcosa - perché salire fino a Selvino? Perché la strada è piena di bei tornanti e da quando l'hanno allargata dà ancora più soddisfazioni. (nell'immagine un colpo d'occhio su Rosciate, il mio paese, e Selvino con il suo altopiano, sopra Nembro)Immagino che, dopo il titolo, nessuno clicchi su link.
Anche se penso ne valga la pena; è la dimostrazione costruttiva che è possibile invertire le facce interna ed esterna di una superficie sferica senza fare buchi o spigoli (cioè senza perdere la differenziabilità della superficie).
Cosa postillavo ieri sera?
Già oggi sono esasperato. Non c'entra il gruppo, non c'entrano i colleghi, non c'entra neanche il laboratorio in sé.
È colpa di quel vecchietto bizzoso del professore, e della sua mania per i diagrammi a blocchi, ed il suo maledetto linguaggio Assembler. Ma non c'è linguaggio di programmazione, per quanto astruso, che mi abbia mai resistito. Vedremo.
Dopo un po' di lezioni frontali, infatti, abbiamo incominciato a mettere le mani sui circuiti integrati - questa è la prima parte del corso, perché poi il capitolo sull'elettronica analogica deve essere più difficile e lo facciamo da novembre. Novità - gruppo da quattro persone. Oltre agli ormai soliti Perri e Tarantino, quest'anno ci si è aggiunto Ylias Ozkan - spero non legga e che quindi non si offenda, penso di aver sbagliato a scrivere il nome, anzi, non so neanche quale sia il nome e quale il cognome.
In effetti, non conoscendolo, c'era un po' di diffidenza. Ma, signori miei!, è un genio dei circuiti - perlomeno, ha una manualità tecnica infinitamente superiore alla mia, e che sovrasta decisamente anche quella dei miei colleghi, tanto da meritarsi il nome di sarto dei circuiti.
Sono salito in cima alla Grignetta e non ho firmato il libro di vetta (che ho scoperto oggi esistere - ma avrei potuto scoprirlo prima!)
Allora, per togliermi il sapore, chiedo al barista di servirmi un whisky vero, che mi stupisca (insomma, non il solito zio Jack che sarà anche buono). Quello mi fa che avrei potuto provare un whisky "torbato", cioè con il malto affumicato alla torba. E mi serve questo Laphroaig. Lo bevi e sulle prime ne senti il sapore deciso, ma subito dopo vieni invaso dal retrogusto di fumo che non ti lascia anche dopo diverso tempo che l'hai finito...insomma, ieri sono tornato a casa con la bocca che sapeva ancora di fumo. Non ho indagato se ho bevuto quello di 10 anni o quello di 15, ma da qualche parte deve esserci una foto della bottiglia. Il barista mi ha anche detto che non si trova in tutti i supermercati, ma non è così raro.
Grigna MeridionaleVado ai Piani Resinelli, sopra Ballabio (LC), ed in una decina di minuti su strada chiusa al traffico e mulattiera raggiungo il rifugio Porta del CAI di Milano (in uno stato pietoso, a dire il vero), da dove parte la salita vera e propria. Il tempo non promette nulla di buono. Nessun tipo di vista della Grignetta, solo un muro di nuvole che parte poco oltre il limite del bosco. Si incomincia attraversando il bosco Giulia, subito alle spalle del rifugio, e risalendo in poco tempo (direi...10') oltre il limite del bosco iniziando a risalire l'ampio spallone erboso noto come Cresta Cermenati. Le guide non la raccomandano particolarmente, se non in invernale, per la sua monotonia, e me ne accorgo molto presto. Il sentiero, se così lo vogliamo chiamare, è una pietraia calcarea che si fa strada tra i prati, ripidi ed a volte ripidissimi, senza una traccia chiaramente individuabile, ma anche senza grandi difficoltà, almeno in salita, per cui si va su senza farsi troppi problemi. Presto sono avvolto dalle nubi, il che abbassa drasticamente la visibilità, ridotta a qualche metro avanti e qualche metro indietro. Ai lati, essendo su una cresta, ancorché spesso ampia, solo un muro lattiginoso ed impenetrabile. Va avanti così per diverso tempo; la salita non è mai faticosa ma nemmeno che ci sia da ridere e scherzare. Le rarissime persone che incontro, in discesa, sono annunciate da un rumore di sassi smossi ed appaiono come fantasmi materializzandosi all'improvviso davanti a me. E va avanti così, senza novità di rilievo, per un'ora abbondante, ogni passo uguale all'altro e con l'impressione di essere sempre nello stesso posto. Il sentiero è segnato pochissimo. Solo nel primo tratto, che la mia mappa chiama i Geroni, ci sono dei bolli blu che indicano la via più semplice, poi bisogna arrangiarsi. Si lascia a destra la traccia per la cresta Sinigaglia, e si sta bene attenti a non andare troppo a sinistra, pena buttarsi nel canalone Caimi. Poi, dopo aver incontrato un paio di fasce di pioggia forte, si arriva in vista dei contrafforti rocciosi della vetta, dove si incrocia il sentiero Cecilia e si intravede almeno qualcuna delle guglie che rendono famoso il profilo della Grignetta. L'ultimo tratto è più impegnativo e dura circa un quarto d'ora; si arriva in vetta superando una paretina un po' scoscesa aiutandosi eventualmente con una catena. Ma, orrore! Cosa sia successo qui in cima non voglio immaginarlo, ma è completamente ricoperta da bagole di capra, o di camoscio, e quindi i pochi passi di arrampicata si fanno su terreno scivoloso e anche un po' disgustoso, specie quando si è costretti ad usare le mani. Ma ormai sono su, appena oltre le nuvole. Questo, anche se affascinante, rovina decisamente il panorama, perché l'unica cosa che si vede nei dintorni è la vicina (ma sarebbero comunque due ore e mezza) vetta del Grignone. Qui in vetta c'è la bizzarra costruzione del bivacco Ferrario, una piccola croce, un paio di colleghi escursionisti ed uno stormo di corvi.
Questo, almeno, finché lo studio non diventa più pesante, o i laboratori riempiranno anche le mattine.
Questo blog (o meglio, il suo autore) sarebbe anche stanco dei democratici a corrente alternata e della solidarietà a termine.
