Antitrasformando

Un'ora abbondante per un'equazione differenziale del primo ordine. Ma siamo matti?

Risolvere con il metodo della trasformata di Laplace la seguente:

f'+f=cosh t, f(0)=1

La trasformata di Laplace di una funzione f(t) è int(0,inf) e^-(zt)f(t)dt, con z varibile complessa. Dalla definizione discendono le proprietà, tra cui la banale linearità.

La trasformata di Laplace della derivata, Lf', è uguale a zLf - f(0). Il coseno iperbolico è (e^t+e^(-t))/2.

Si trasforma l'equazione per trasformare l'equazione differenziale in un'equazione algebrica. Si ottiene

(z+1)Lf = (1/2)(1/(z-1) + 1/(z+1))

da cui, scomponendo in frazioni semplici per sfruttare al massimo la linearità della trasformata di Laplace,

Lf=(1/4)(1/(z-1)-z/(z+1)^2 + 1/(z+1)^2)

Ora arriva il difficile, cioè fare l'antitrasformata e tornare alla forma f(t). Ora, si dovrebbe fare un integrale su una retta verticale nel piano complesso della trasformata per e^(zt), ma facciamo che non ne ho voglia/ci ho provato un secolo, almeno sul termine in mezzo che è il più difficile, e non ne ho cavato niente. Vengono in nostro aiuto le mitiche tabelle.

Da queste apprendiamo che 1/(z+a) è trasformata di e^{-at} e che 1/(z+a)^2 è trasformata di te^(-at). Fin qui tutto bene...ma il termine in mezzo...prova e riprova, non so cosa avessi in testa. Perché è facile. Infatti, è uguale a zL(te^{-t}) - 0 (te^{-t} con t=0), dunque è L(te^{-at})'. Non resta che fare la derivata e le somme, e si ottiene il risultato 1/4(e^t + (2t-1)e^(-t).

Urrà...