Per la definizione e tutto quello che ci sarebbe da sapere (che è comunque di più di quanto sappia io), rimando all'articolo di Mackenzie e Xu che inventa il bialgebroide di Lie e le sue prime perversioni. (vedo che ci vuole non so che permesso, se qualcuno è interessato chieda che vedo cosa posso fare).
La congettura (che metto agli atti per questioni di primogenitura - capito, prof. Kosmann-Schwarzbach?) è la seguente.
Consideriamo una varietà dotata di un bivettore di Poisson (per gli amici, $P$). Il bivettore di Poisson può essere utilizzato per definire una funzione (in gergo, una mappa fibrata dal fibrato cotangente $T^*M$ al tangente $TM$, tramite l'identificazione $\langle\alpha,P^#\beta\rangle=P(\alpha,\beta)$, dove per iperformalismo distinguo $P\in \Lambda^2(E)$ bivettore da $P^#:T^*M\to TM$ mappa fibrata. $P$ è di Poisson se ha parentesi di Schouten nulla con sé stesso.
Ora, che tipo di oggetto devo associare a $N:TM\to TM$ mappa fibrata di Nijenhuis per ottenere la stessa identificazione? La torsione nulla si concretizza in una specie di nullità per una certa parentesi di Schouten? Il che porta a chiedersi: il bialgebroide $PN$ è un bialgebroide di Lie triangolare doppio? Perché ho che $(TM,T^*M,P)$ è doppio in quanto $P$ dà al cotangente la struttura di algebroide ereditandola dal tangente, e $N$ potrebbe dare a $(TM,N)$ la struttura di algebroide prendendola dall'algebroide $(T^*M,P)$...e avremmo chiuso il cerchio. O, più probabilmente, resteranno congetture.
Nessun commento:
Posta un commento