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venerdì 6 febbraio 2009

aka Covariante Bilineare

Due mesi di lavoro intenso, in cui si sono alternati prematuri entusiasmi e scoramenti dovuti magari alla stanchezza o ad uno stupido errore di segno. Ma, finalmente, dopo invero averne già maneggiato la forma intrinseca, oggi devo aver sotto gli occhi la scrittura in componenti del famoso tensore di compatibilità per un bialgebroide di Lie, aka covariante bilineare come è passato in letteratura il suo cugino delle varietà PN dalla cui logica sono partito, aka il mio tensore, visto che non, per le attuali conoscenze dell'autore, non risulta nulla di simile.

Con l'impegno di non dire nulla alla malvagia m.me Kosmann, dopo l'interruzione la formula (di cui non spiego la notazione un po' perché chi mi segue dovrebbe esserci abituato - la novità sono le "costanti" di struttura dell'algebroide - un po' perché chi è interessato può sempre mettersi in contatto con me e chiedere)

$R_B^{Aj}=-\frac{a_M^j}{c_{AM}^B}+b^{jM}c_{BM}^A+a_B^m\frac{\partial b^{jA}}{\partial x^m}-b^{mA}\frac{\partial a_B^j}{\partial x^m}$

Epperò non mi convince del tutto.

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sabato 31 gennaio 2009

Condizioni del bialgebroide di Lie

Il mio professore non vuole che ci si esponga prima di padroneggiare con sicurezza la scrittura in componenti, ma abbiamo (ho?) provato che condizione necessaria e sufficiente affinché la condizione per un bialgebroide di Lie
$[d_*s_1,s_2]_S+[s_1,d_*s_2]_S-d_*[s_1,s_2]=0$
sia f-lineare nelle due sezioni (e condizione necessaria affinché la condizione possa valere) è la soddisfazione di queste due richieste sull'accoppiamento delle ancore.

  1. $ab*+ba*=0$
  2. $R(\alpha,s)=a\mathcal{L}'_\alpha(s)-b\mathcal{L}'_s(\alpha)+[as,b\alpha]-ab*d\langle\alpha,s\rangle=0$

Per delucidazioni sulla mia notazione, si faccia riferimento al vecchio post in cui la condizione indicata, come avevo già avvisato, è stata sostituita dalla nuova numero 1 (nei calcoli avevo clamorosamente sbagliato un segno).

Nell'ottica di lavorare per bene sul tensore R, se qualche ingegnere o fisico specializzato in meccanica del continuo mi sa segnalare una buona trattazione algebrica dei cosiddetti tensori a due punti (o two-point tensors), è benissimo accetto.

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martedì 13 gennaio 2009

La scoperta dell'acqua calda

No, effettivamente quella ce l'aveva spiegata un paio di mesi fa. Oggi la lezione (o, meglio, la parte della lezione più strana) è stata "perché le nuvole diventano nere quando sta per piovere?". Di sicuro alcuni di voi hanno idee in merito, altrettanto certamente alla maggior parte dei lettori non interessa assolutamente nulla. Ma sono certo che sono ben pochi quelli che hanno mai sentito la spiegazione che ci è stata venduta.

Martedì pomeriggio. Università degli Studi di Milano-Bicocca, Dipartimento di Fisica "G. Occhialini". Lezione di Meccanica Statistica in un aula in cui, nonostante i due gradi scarsi del mondo vero, non faranno meno di ventitré gradi
L'attenzione credo sia ai minimi storici, quando il professore sbotta con la domanda. Dopo aver discusso tra sé e sé per rammentare se ce l'avesse già spiegato o meno, esordisce. Tutto è dovuto al regime critico della transizione liquido-gas nella nuvola. Il fenomeno prende il nome di opalescenza critica (anche se non c'è accordo su Wikipedia) ed è dovuto al fatto che le fluttuazioni di densità delle molecole d'acqua decadono molto meno velocemente del consueto (secondo il teorema centrale del limite) a regime critico, e quindi (detto in modo non rigoroso) ci sono molte più fluttuazioni di densità dell'acqua in una nuvola in cui sta per piovere. Essendo l'acqua una molecola polare, una fluttuazione della sua densità comporta una fluttuazione di polarizzazione nello spazio della nuvola. I fotoni che abitualmente passano nelle nuvole (e che, quindi, danno loro il colore bianco) vengono assorbiti maggiormente perché interferiscono con la polarizzazione, e quindi rendono le nubi nere. Chiaro, no?

E poi la gente crede che noi fisici teorici non serviamo a niente...

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venerdì 12 dicembre 2008

Notazione di Leibniz

Questo post è inteso per far arrabbiare i matematici.
Ok, non è proprio così, diciamo che vuole decantare la notazione di Leibniz per le derivate rispetto a quella di Lagrange o di Newton, e tutto per la sua elegante consistenza formale.

Come pochi dei non addetti sanno, "formale" in matematica è alla stregua di un insulto, e si legge più o meno come "non rigoroso". E, come tutte le cose non rigorose, l'uso che farò nel seguito della notazione farà venir la pellagra a più di una persona, e probabilmente anche a qualche mio professore. Intendo, infatti, dimostrare la parte "facile" del compito per gli studenti volonterosi, e cioè che l'energia libera per particella, come funzione del volume specifico, è una funzione convessa come lo è la densità d'energia, come funzione della densità; ma ci restringiamo agli intervalli per cui esiste la derivata seconda.

Diamo per buone le premesse: la densità d'energia è convessa, cioè
$\frac{d^2g}{dn^2}>0$

inoltre, la relazione tra densità e volume specifico è $n=1/v$ e l'energia per particella è
$f(v)=vg(\frac{1}{v})
La notazione di Leibniz mi permette, al contrario delle altre notazioni classiche, di ottenere immediatamente le formule per la derivata rispetto ad una diversa variabile (ricordiamo che io voglio riscrivere $\frac{d^2f}{dv^2}$ in termini di $\frac{d^2g}{dn^2}$, di cui conosco la positività). Avrò perciò

$\frac{d^2f}{dv^2}=\frac{d}{dv}(g+v\frac{dg}{dv})$
$=\frac{d}{dv}(g+v\frac{dn}{dv}\frac{dg}{dn})$
$=\frac{dg}{dv}+\frac{dn}{dv}\frac{dg}{dn}+v\frac{d^2n}{dv^2}\frac{dg}{dn}+v\frac{dn}{dv}\frac{d}{dv}(\frac{dg}{dn})$
$=(2\frac{dn}{dv}+v\frac{d^2n}{dv^2})\frac{dg}{dn}+v(\frac{dn}{dv})^2\frac{d^2g}{dn^2}$
Senza colpo ferire, abbiamo ora un termine proporzionale a $\frac{d^2g}{dn^2}$ ed un secondo termine, che adesso miracolosamente sparisce. Poiché, infatti, $\frac{dn}{dv}=-1/v^2$ e $\frac{d^2n}{dv^2}=2/v^3$, i termini fra parentesi scompaiono e rimane
$\frac{d^2f}{dv^2}=\frac{1}{v^3}\frac{d^2g}{dn^2}$ che dimostra la tesi (essendo che il volume specifico è, naturalmente, positivo).

Ora, con questo calcolo non è dimostrato tutto, perché c'è, appunto, un insieme di misura nulla in cui la derivata seconda di $g$ non è definita. Ma altrove il calcolo è fatto senza sporcarsi minimamente le mani; e non sarebbe stato facile, usando apici o puntini (rispettivamente, Lagrange e Newton)...

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giovedì 27 novembre 2008

Aspettative

Me l'avevano raccontato ma non ci avevo creduto...

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mercoledì 5 novembre 2008

Geometria Generalizzata e NLSM - Tesi

Anche se posso ben immaginare che siano decisamente in pochi (elencavamo tre gruppi di ricerca, a suo tempo) cui possa interessare, ho deciso finalmente di rendere disponibile la mia tesi di laurea. Avvisando che questi risultati sono già stati discussi e si sta lavorando ad una loro generalizzazione (se riusciremo a trovarla, è un altro discorso). Ad ogni modo, nell'elenco qui in sidebar e direttamente a questo link è disponibile il pdf della tesi discussa il 28 ottobre.

Generalized Geometry and Nonlinear Sigma Models

Despite I do can imagine that interested people are few (we counted three research groups, during our work), I finally decided to set my Bachelorship thesis public. I warn that these results have already been defended, and we are trying to get a generalization (if it will be possible, it's a good question). Anyway, at this link you can find the pdf file of the thesis defended on October, 28th.

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sabato 1 novembre 2008

Geometria Generalizzata e NLSM - Presentazione

Finché non riesco a capire perché un bellissimo sistema per registrare presentazioni online fa le bizze con i pdf, bisognerà che il lettore interessato rinunci al mio suadente commento e si accontenti di questa presentazione, che è la versione "disanimata" della mia, e con una grafica pessima perché SlideShare rovina tutte le sfumature.

Geometrie generalizzate e NLSM
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Certo, con la voce è tutta un'altra cosa. Cercheremo di risolvere.

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venerdì 26 settembre 2008

Peggio che un figlio

Si annuncia con la presente che la tesi di laurea, quella che sì è una tesina che porta via non più di un mese di lavoro, quella che prendi un capitolo da un libro che ti interessa e fa' il riassunto, quella che non importa su cosa la fai, basta che sia corta e non ti porti via tempo, è finita. Modulo il relatore, nel senso che da martedì ci si dedica alla correzione definitiva. Ma intanto è un bel pacchetto di fogli scritti fitti fitti (e lo so che si potrebbe ingrandire il font, ed allargare l'interlinea, e chissà cos'altro, ma sta così bene in tutto e per tutto simile ad un libro stampato, che i piccoli esperimenti che ho fatto la rovinano soltanto).

E sono passati (se la memoria non m'inganna) più di dieci mesi. Sono stati consultati libri ed articoli accademici a decine, è quasi poderosa, ho ricevuto apprezzamenti nei corridoi del dipartimento di matematica da professori terzi. E, se ho fatto il conto giusto, più di quattro punti su otto e sette di credito non mi darà.

Quindi ho buttato via un anno (o meglio, il tempo libero di un anno)? A parte il fatto che il gruppo di fisica teorica ha avuto un esodo di studenti, perché non si può snobbare così tanto il lavoro e l'impegno della tesi, anche solo per soddisfazione dei laureandi, e che molti hanno cercato asilo dai particellari, a matematica o a informatica...Non credo, comunque, di aver buttato il mio tempo, perché abbiamo aperto questioni che, nei prossimi mesi, finita la foga della laurea, si spera risolveremo. E potrebbero aprirsi spiragli in qualche altra università. Forse. Intanto, non rimarrò con le mani in mano.

Presto in arrivo un'anteprima consultabile

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venerdì 19 settembre 2008

Gatto di Yang-Mills

Il gatto si Schroedinger ci ha stancato, anche indipendentemente dalla meccanica quantistica. Per prima cosa, è una questione che conoscono tutti dal liceo; e poi, è inflazionato; tutti conoscono il tristo destino del povero gatto-zombie.

Più a lieto fine (per quei pochi che lo capiscono, io stesso confesso di esserne più affascinato che altro) la storia del gatto di Yang-Mills, che cade sempre in piedi - e quindi un po' tutti i gatti sono gatti di Yang-Mills, mentre ben pochi sono di Schroedinger. Anzi, secondo me nessuno. Ne avevamo già parlato, a dire il vero, ma mi è sembrato il caso di una trattazione dedicata, mentre in quell'articolo era solo un problema tra gli altri.

Abbiamo qui una trattazione quasidivulgativa, e poi (udite udite) l'articolo originale di Montgomery Gauge theory of the falling cat, Fields Institue Communications, 1993.

Passate al Lato Oscuro della fisica, sperimentali!

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giovedì 28 agosto 2008

Amare la fisica

A volte uno se ne dimentica, e pensa che siano odiose, tutte quelle relazioni, l'una uguale all'altra anche se diversa (simili ma con differenze, l'espressione più inutile della nostra lingua), e che tutto sia odioso, e a quanto sarebbe meglio realizzare l'impresa alpinistica che si era progettata prima di Parigi, piuttosto che studiare.

Poi, per fortuna, arriva un misconosciuto prof. Surya Ganguli dell'università di California S. Francisco, con questo capolavoro (attenzione, è un file PostScript, e quindi non tutti riusciranno a leggerlo), e uno si ricorda cosa gli piace, e perché. Ah, prima che me ne dimentichi: l'articolo si intitola Fibrati tangenti e teorie di Gauge in meccanica classica: una descrizione unificata per gatti che cadono, monopoli magnetici e fase di Berry. Come si può non adorarlo?

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mercoledì 25 giugno 2008

- 3

E, stavolta, è stato tutt'altro che una formalità. Il che si evince, ad esempio, dal fatto che non riesco a stare in piedi ed ho le gambe che sembra mi scoppino, come sempre dopo qualche esame importante (e se un cardiologo, un endocrinologo - insomma, chiunque possa essere d'aiuto, eccetto uno psicologo, o peggio psicologa - potesse spiegarmi il perché ne sarei lieto). O, altro esempio, dal fatto che sono entrato nello studio del professore alle undici e venticinque e ne sono uscito alle quattordici. E, alla fine, tutto considerato e nonostante il voto, ne sono uscito sollevato, liberato, ed incommensurabilmente più vicino (nonostante il conto degli esami non induca ancora all'ottimismo) alla Meta.

Lo scritto, lunedì, era infatti andato male. Anzi malissimo. Anzi, bene, considerato che siamo passati in quattro. E, quindi, oggi mi presentavo partendo dal miserrimo 19. Come altri, avrei forse potuto ripetere l'esame a metà luglio, e fare di meglio. Ma avrei perso queste tre settimane in cui conto di mettere in saccoccia almeno un altro paio di esami. Quindi, consapevole che, per rifare l'esame, mi avrebbe dovuto bocciare, mi sono presentato con la fase di Berry come argomento a scelta.

Quando sono arrivato, ancorché in anticipo rispetto all'orario concordato, i miei due colleghi temerari erano già accomodati, ed il primo - forte del suo punteggio pieno in due esercizi su tre, e vuoto il terzo (che nessuno ha fatto, ad onor del vero) - si preparava ad esporre le simmetrie discrete. E ad essere violentemente redarguito per la poca preparazione in merito. Fin quando, su altre dimostrazioni di meccanica quantistica, in evidente difficoltà, viene messo in panchina e scende in campo il candidato sig. Casati, che una dimostrazione in testa ce l'ha, ma ci vogliono comunque dieci minuti per metterla su lavagna come il professore vuole (lo scriva sotto; no, a sinistra; no, che fa? Ah, sì, così). Dopodiché attacco con la fase di Berry. Che viene sacrificata parecchio, a mio avviso, con la richiesta di applicazioni pratiche (applicazioni pratiche? verifiche sperimentali? teorico, leggo sul libretto...). Tirando fuori qualcosina - ed annaspando parecchio sul cosiddetto angolo di Hannay, che se ho tempo diventa il tema del mio prossimo Carnevale della Matematica (fisica, direte voi, ma si tratta di geometria) (qui l'abstract, per tutti, e qui l'articolo per chi ha i privilegi d'accesso).

Poi vengo rimesso in panchina, ed ascolto per un'altra mezz'ora abbondante il primo candidato. Vengo richiamato, mentre gli altri vanno a pranzo, e proseguo su un versante un po' troppo pratico per i miei gusti, ma che sapevo per aver fatto in altri corsi - ed avevo una diagonalizzazione usata nel corso di Elementi dai tutor, che avevo da poco ripassato per aiutare qualche compagno con l'esame del primo modulo - e ne sono venuto fuori con una certa dignità (credo). Certo, oscillando un po' troppo tra non faccia tutti questi conti e questo da dove l'ha tirato fuori? Lo dimostri!. Comunque, con la dignità che è bastata per passare da 19 a 25. Che è, comunque, al pari di Matematica per la Fisica, il voto più basso che ho, ma non è un dramma. Anzi, da come si era messa, è una conquista.

E lo sapevo, lo sapevo, lo sapevo che il professore - tanto vale chiamarlo per nome, C., come firma le mail (che, poi, non so perché gli hanno dato la mia mail personale e non quella "accademica", ma otèr) - aveva trovato il mio blog dove si parla (per lo più per niente bene) di lui. E si è dimostrato sportivo a dir poco. Quindi, anche se non faccio mistero di essere contento di aver passato l'esame, di auguare un semestre così duro anche ai non teorici che lo dovranno affrontare l'anno prossimo, e che - neanche mi mancasse una tesi di laurea - affronterei con lui Crittografia quantistica, tutto sommato è stato un buon semestre. Che mi ha fatto riscoprire, ad esempio, che studiare certe cose non solo mi piace, ma mi piacere. In particolare, tutti i discorsi sul gauge. Ma, che non fossi del tutto normale, si sapeva già.

E, ancora, Relatività, Laboratorio di Calcolo Numerico e Simbolico, Istituzioni di Fisica Matematica II. Più il CRE, che sembra proprio ci sia bisogno di me.

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giovedì 10 aprile 2008

Priorità

Tutti noi dovremmo essere quell'omino. Con la sua solida scala di priorità: prima di tutto, i campi hamiltoniani! (secondo me questa vignetta è ispirata ad una storia vera, e la storia vera è la storia di Magri!)

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giovedì 3 aprile 2008

Nella tana del lupo

Una delle migliori trovate del corso di Meccanica Quantistica, oltre ad i più volte citati compiti a casa, è senz'altro quella dei turni di correzione dei compiti altrui. Considerato che siamo in sedici a frequentare il corso, e che in quattro alla volta si fanno le correzioni, si capisce come sia un onere impegnativo ed abbastanza frequente. Anche perché non è che ciascuno corregga quattro compiti (troppo poco controllo incrociato), ma ogni compito viene corretto due volte. Se, a questo, si aggiunge che - complici le vacanze pasquali - si erano accumulati due compiti, diventa abbastanza semplice capire com'è che ieri sera sono arrivato a Bergamo alle nove meno un quarto.

Da un lato, bisogna dire che l'esperienza non è stata del tutto sgradevole. In primo luogo, l'essere chiuso in uno studio del piano dei teorici dà - anche solo dal punto di vista dell'immagine - una certa soddisfazione, che si sommerà ad un'altra, ben più importante, se il mio relatore di tesi continuerà a dirsi convinto del nostro teorema (suo, a dire il vero, ma considerato che a scrivere sono io...). E cioè di andare a discutere una tesi del terzo anno, non sperimentale, con delle novità. Poi, nel momento di dare il voto, il Temibile è più umano di quanto tutti noi fossimo disposti a concedere e - anche se non distribuisce trenta, nonostante (a volte) qualcuno di noi li proponga - in diverse occasioni interviene ad ammorbidire e ad innalzare i nostri giudizi senza appello (sia buono...).

I correttori, cioè noi quattro, del tutto inesperti di correzione di compiti di meccanica quantistica, non sono stati del tutto efficienti; in altre parole, ci abbiamo messo una vita a correggere, anche perché qualcuno di noi (e sa di chi sto parlando) difetta completamente di fiducia e si incaponisce a voler comprendere calcoli palesemente assurdi - che poi danno risultati giusti, a dire il vero. Nonostante la nostra pessima partenza - perché due devono correggere un pacco di compiti, gli altri l'altro, siamo comunque riusciti - anche se con voti dati un po' a caso, specie per un esercizio - a finire in una sera (quasi i bidelli ci cacciavano...), mentre i nostri colleghi dovranno tornare ancora settimana prossima, essendo arrivati a metà dell'opera.

Se penso che, tra un mese, ci saremo ancora dentro...

Come è ovvio, finire dopo le sette comporta tutta una catena di ritardi e cambi di programma che ne basterebbe la metà. Alle otto c'era in programma, a Gorle, una cena elettorale, mentre alle nove meno un quarto, all'oratorio di Scanzo, ci sarebbe dovuto essere l'incontro per gli educatori degli adolescenti onde preparare l'incontro di domani ed il nuovo capitolo sulle dipendenze (nonostante il mio voto ferocemente contrario, ma del resto non sono io ad avere queste responsabilità). Un bel treno in ritardo di quel poco che è bastato a perdere la coincidenza a Carnate, ed eccomi arrivare a Bergamo non prima delle nove meno dieci - in modo da perdere l'autobus e dover aspettare, virtualmente, in stazione - assediato da un questuante squilibrato che voleva vare conversazione - fino alle dieci meno venti. Nonostante le mille proteste, ho costretto mia madre a passare a prendermi, ché, se avesse dovuto aspettarmi prima di mettere a posto la cucina, sarebbe stata molto più in fastidio.

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giovedì 13 marzo 2008

Dopo anni...i compiti!

Non farò un altro post su Oleari. Non perché non voglia riversagli le peggiori contumelie, ma perché - a parte il sempre presente rischio che lo trovi - non è il massimo continuare a lamentarsi e non darsi da fare.

Nonostante questo, è ben diverso essere abituati a mandar giù teoremi e dimostrazioni, fosse anche a scriverli, e trasformarsi in una macchinetta da conti per verificare identità che si trovano su tutti i libri. E, tra l'altro, così facendo oggi non riuscirò a finire questi, né a buttar giù un decente algoritmo per il laboratorio di calcolo. Alle sei-sei e mezza, infatti, è richiesta la mia presenza a Bergamo perché arriva Veltroni in pompa magna, ed il signor immagine ha bizzarre ed inamovibili preferenze circa la campagna elettorale, e ha precettato i giovani. Quasi quasi, appena inizia a parlare e nessuno mi nota più torno a casa. Tanto, quello che ha da dire lo sentirei l'indomani al telegiornale, no?

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lunedì 10 marzo 2008

Meccanica quantistica per Teorici


Il momento tanto temuto è venuto, finalmente. Con oggi abbiamo iniziato il corso di Meccanica Quantistica del secondo semestre, tenuto dal temibile Oleari, di cui avevamo già tratteggiato un icastico ritratto. Ed è masoschisticamente divertente vedere che il corso sarà come ce l'aspettavamo; cioè un calvario. Certo, possiamo esprimere soddisfazione per il fioretto di non dire più parolacce, e tenere a mente che - dopo tutto - si tratta di un ottimo insegnante e di un corso interessante.

Ma è abbastanza disarmante sapere che siamo stati trasformati in un numero, in modo che non rimanga nemmeno il nome a segnare i nostri esercizi, o che - per la prima volta nella storia - ci verranno assegnati degli esercizi da svolgere settimana per settimana, su cui saremo valutati. Inoltre, è riuscito a reintrodurre lo scritto in quello che era un esame solo orale.

Intanto mi consolo pensando che, se fingo di dimenticarmi che ci sono dentro anch'io fino al collo, rido sulle disgrazie dei colleghi teorici

Sarà un lungo semestre. Il più lungo.
Nella foto un'immagine credibile del professore. Non avevo mai visto un intero episodio di dr. House prima di ieri sera - solo qualche battuta ogni tanto; ma il modo con cui il Nostro tratta gli studenti è tale e quale a quello in cui House tratta i suoi medici assistenti.

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venerdì 29 febbraio 2008

Schrödinger /2

Eravamo arrivati a trovare la relazione tra energia e pulsazione, $E=bar h \omega=\frac{h}{2\pi}2\pi\nu=h\nu$. Niente di più naturale. Questo risultato è ottenuto, indipendentemente, dagli studi di Planck sulla radiazione di corpo nero e - seguendo la sua idea - di Einstein sull'effetto fotoelettrico. Notiamo un'altra relazione che ci sarà utile.
Consideriamo $E=1//2mv^2 = frac{p^2}{2m}$. Da $p=mv$ osserviamo che
$\frac{dE}{dp}=\frac{p}{m}=v=\frac{d\omega}{dk}$
, dove l'ultima relazione viene dal fatto che, nel post precedente, abbiamo identificato la velocità di gruppo con quella della particella. Eguagliando otteniamo
$\frac{dE}{dp}=\frac{d\omega}{dk}$
da cui è evidente che
$\frac{dp}{dk}=\frac{dE}{d\omega}$, e quindi $p=bar h k$

Passiamo ora alla seconda parte della derivazione. Abbiamo già sfruttato l'analogia tra l'ottica geometrica e la meccanica. Sappiamo anche, però, che l'ottica geometrica altro non è che il limite, per lunghezze d'onda che tendono a zero, dell'ottica ondulatoria. Forse è possibile, allora, pensare anche alla nostra meccanica come caso limite di una meccanica ondulatoria, il cui formalismo era già stato sviluppato per la fluidodinamica, o in generale per la meccanica del continuo. I modi normali di oscillazione di un sistema continuo obbediscono all'equazione di Helmotz
$(\grad^2+k^2)u=0$, dove u è uno dei modi normali.
Dall'equazione che abbiamo scritto poco fa possiamo ricavare il valore di $k^2$, che risulta
$k^2=\frac{p^2}{bar h^2}=\frac{2m(E-V(x))}{bar h^2}$
Riordinando l'equazione, e portando a destra l'energia, abbiamo
$[-\frac{bar h^2}{2m}\grad^2 + V(x)]u=Eu$
Questa è l'equazione nota come equazione di Schroedinger agli stati stazionari.

Consideriamo ora, però, che forma avrà una soluzione viaggiante. Avremo un'onda, di equazione $\psi=u(x)e^{-i\omega t}$. Ricordiamo che $E=bar h \omega$, e che possiamo facilmente ottenere $\omega$ derivando rispetto al tempo la funzione $\psi$, a meno di fattori. In effetti, abbiamo che, per una funzione che dipende esplicitamente dal tempo come quella nella forma data
$E=bar h\omega = ibar h \frac{\del}{\del t}$
Otteniamo, perciò, l'equazione di Schroedinger
$[-\frac{bar h^2}{2m}\grad^2 + V(x)]\psi=i bar h\frac{\del \psi}{\del t}$

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Schrödinger /1

Poiché, tanto, la devo studiare, può essere interessante inserire sul blog un po' di meccanica quantistica. Anche perché questo procedimento ha, ai miei occhi, un valore intrinseco, dato dal fatto che ricaviamo l'equazione fondamentale per la meccanica quantistica evolvendo dall'ottica e dalla meccanica classiche. Non è, a rigore, una dimostrazione; ma mette in luce le analogie profonde che mi fanno sostenere la validità intrinseca dei modelli fisici.

Iniziamo con uno dei risultati più interessanti e ingiustamente bollati come teologici della meccanica classica, il principio di minima azione di Maupertuis:
$\delta\int ds\sqrt{E-V(x)}=0$
Accanto ad esso consideriamo il principio di Fermat dell'ottica geometrica
$\delta\int n(x,\omega)ds = \delta\int ds\frac{1}{v_f(x,\omega)}=0$
Si tratta di due principi variazionali che selezionano, tra tutte le traiettorie possibili, quelle che sono le soluzioni - del moto per il pr. di Maupertuis, del raggio per il pr. di Fermat. Il nostro punto di partenza è constatare che i due principi sono in stretta analogia. E postulare che l'analogia non sia solo formale ma anche sostanziale.

Osserviamo che, lungo i due moti, le costanti sono, in un caso, l'energia totale E, nell'altro la pulsazione (che poi è direttamente proporzionale alla frequenza) $\omega$ del raggio. Facciamo quindi l'ipotesi che le due grandezze siano legate, cioè che $E=E(\omega)$. Il secondo passo è sostenere l'equivalenza dei due principi. Questo equivale ad eguagliare gli integrandi a meno di una costante (in modo che, quando uno è zero, lo sia anche l'altro). Si ha
$\frac{1}{v_f}=C(\omega)\sqrt{E(\omega)-V(x)}$
Adesso facciamo un passo ulteriore, e pensiamo di poter equiparare una particella, in qualche modo, ad un pacchetto d'onde. La velocità della particella non sarà, allora, la velocità di fase $v_f$, ma la cosiddetta velocità di gruppo $v_g=\frac{d\omega}{dk}$. Ora, si ha che
$\frac{1}{v}=\frac{1}{v_g}=\frac{dk}{d\omega}=\frac{d}{d\omega}(\frac{\omega}{v_f})$
Ricordando quanto scritto all'inizio, e che $v=p/m=\sqrt{(2/m)(E-V)}$, otteniamo l'equazione
$C(\omega)+\omegaC'(\omega) = \frac{\sqrt{m/2}-{\omega C E'}/2}{E-V(x)}$
Poiché tale uguaglianza deve valere per tutte le forme del potenziale e per tutti i valori di x, vale solo se il membro di destra e quello di sinistra sono identicamente zero.

Questo porta a due equazioni differenziali, per C e E, che risolte danno
$C(\omega)=\frac{K}{\omega}$
$E=\frac{\sqrt{2m}}{K}\omega$
Rinominando opportunamente la costante, e chiamandola "htagliato", abbiamo
$E=barh \omega$

Questo risultato è fondamentale per la successiva derivazione dell'equazione di Schrodinger. Nella prossima puntata

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venerdì 22 febbraio 2008

30 SUBITO!


Non vedo, purtroppo, folle agitare cartelloni davanti alla porta dello studio di Destri, o presidiare lo studio di Oleari chiedendo giustizia, o ancora inseguire i dottorandi chiedendo spiegazioni.

Avviare il video, ed ascoltarlo per un po' prima di procedere

Leggere per credere!

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giovedì 21 febbraio 2008

Verso il patibolo

Ormai sto per prepararmi il pranzo; l'ultimo pasto del condannato. Poi uscirò di casa, prenderò l'autobus fino a Bergamo.
Senza fretta, il primo treno per Milano.
Con meno fretta ancora, il lungo viale in mezzo al quale passa il tram.
Senza guardare in faccia a nessuno prenderò posto nell'aula - ci sarà ressa, credo.
Poi inizierà l'Esame.

Vorrei poter essere più ottimista; e, del resto, all'appello del 4 febbraio lo ero. Ma poi si è visto com'è andata.

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venerdì 25 gennaio 2008

Il mio cervello fuma...

...a forza di studiare meccanica - e così, tra l'altro, sfuma l'ipotesi di ridare Matematica, perché speravo di arrivare al punto a cui sono adesso un po' prima, e di avere un minimo per rinfrescare l'altra.

Sono arrivato, finalmente, ad avere gli strumenti per affrontare quasi ogni esercizio. Anche se adesso ne ho in ballo uno che non so da che parte girare.

Abbiamo una funzione d'onda, espressa in coordinate sferiche,
Psi(r,\theta,\phi) = Aexp(-r/r_0)[1;sin\phi]
dove [1;sin\phi] è uno spinore.

Mi chiede i valori misurabili di J_z (J momento angolare totale). Da questo, presumo che la funzione d'onda abbia un momento angolare orbitale ed uno di spin; e, assumendo che sia così, potrebbe essere che ho
psi = Aexp(-r/r_0) +> + Aexp(-r/r_0)sin\phi ->.
Ma come faccio da sin(phi) a trovare le armoniche sferiche che mi servono per avere gli autovalori di L_z?

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