Geometria generalizzata e modelli sigma non lineari

Dopo aver espletato (quasi completamente, domani mi aspetta Il Pranzo dei Dottori) le esigenze mondane, i festeggiamenti ed i complimenti (a cui rispondo con sentiti ringraziamenti, ma mi schermisco dicendo che non ho fatto niente di importante), vediamo di fare qualcosa di utile, e parliamo in summa della tesi e del suo contenuto scientifico.

In queste ore sto esplorando gli strumenti che Internet mette a disposizione per fornire la maniera più interessante di "replicare" la mia presentazione; e, una volta fatto ciò, pubblicherò anche la versione digitale della tesi (non la mando ad arxiv perché è scritta in italiano). Per ora, mi limiterò a descrivere agli interessati il contenuto ed i risultati raggiunti.

Nella tesi abbiamo studiato gli aspetti geometrici soggiacenti alla teoria dei modelli sigma non lineari, ed in particolare alla loro estensione supersimmetrica. Poiché allo stato attuale della ricerca sembra che tutte le strutture geometriche che nascono dalla richiesta di invarianza per gruppi di supersimmetria siano riconducibili a casi particolari di una struttura chiamata Geometria Complessa Generalizzata, nel corso della tesi abbiamo delineato e seguito il percorso di sviluppo della geometria differenziale dalla nozione di varietà complessa fino alle moderne varietà complesse generalizzate, in particolare attraverso lo studio della teoria dell'algebroide e del bialgebroide di Lie. La nozione di algebroide di Lie permette di riguardare sotto un punto di vista comune tutte le varietà dotate di struttura tensoriale semplice (ad esempio le varietà complesse, le varietà di Poisson e le varietà di Nijenhuis), mentre la nozione di bialgebroide di Lie offre una cornice concettuale sotto cui affrontare le varietà bistrutturate (come le varietà di Poisson-Nijenhuis). In particolare, abbiamo affrontato e mostrato come le varietà di Poisson-Nijenhuis abbiano la struttura di bialgebroide di Lie. Abbiamo poi considerato la nozione di algebroide di Courant, che unifica il fibrato tangente e cotangente nella loro somma diretta che è detta il doppio da cui prende le mosse la definizione di struttura complessa generalizzata; è stato messo in luce come una varietà complessa generalizzata possa essere considerata una varietà dotata di tre strutture tensoriali (al posto che di una struttura $D\to D$) con opportune condizioni di compatibilità, che permetterebbero anche un loro indebolimento che porti ad una "varietà di Nijenhuis generalizzata".

Presto presentazione e/o tesi, su queste pagine.